Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải.

Với Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải môn Toán lớp 8 sẽ hỗ trợ học viên nắm rõ lý thuyết, biết phương pháp thực hiện những dạng bài xích tập luyện từ tê liệt kế hoạch ôn tập luyện hiệu suất cao nhằm đạt thành quả cao trong số bài xích ganh đua môn Toán 8.

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải

A. Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu nhị bình phương. 

Bạn đang xem: Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải.

I. Lý thuyết: 

1. Bình phương của một tổng: 

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

2. Bình phương của một hiệu 

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2 

3. Hiệu nhị bình phương

A2 - B2 = (A – B)(A + B)

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Thực hiện tại luật lệ tính

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng thẳng những hằng đẳng thức đang được học tập nhằm khai triển những biểu thức

b, Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Thực hiện tại luật lệ tính: 

a, (x - 2)2 

= x2 - 2.x.2 + 22 

= x2 - 4x + 4 

b, (2x + 1)2 

= (2x)2 + 2.2x.1 + 12  

= 4x2 + 4x + 1 

c, (3x – 1)(3x + 1) 

= 3x2 - 12 

= 9x2 - 1

Ví dụ 2: Viết những biểu thức sau bên dưới dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu: 

a, 4x2 + 4x + 1 

b, x2 - 8x + 16  

Lời giải 

a, 4x2 + 4x + 1 

= (2x)2 + 2.2x.1 + 12  

= (2x + 1)2 

b, x2 - 8x + 16 

= x2 - 2.x.4 + 42 

= (x - 4)2 

2. Dạng 2: Chứng minh những đẳng thức

a. Phương pháp giải

Áp dụng linh động những hằng đẳng thức, lựa lựa chọn vế hoàn toàn có thể dễ dàng và đơn giản vận dụng những hằng đẳng thức. 

b. Ví dụ minh họa: 

Chứng minh những đẳng thức sau: 

a, x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy  

Xét VP = (x + y)2 - 2xy 

= x2 + 2xy + y2 - 2xy

= x2 + y2 = VT (đpcm)

b, (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab

Xét VP = (a + b)2 - 4ab 

= a2 + 2ab + b2 - 4ab  

= a2 - 2ab + b2 

= (a - b)2 = VT (đpcm)

c, 4x2 + 1 = (2x - 1)2 + 4x  

Xét VP = (2x - 1)2 + 4x 

= (2x)2 - 2.2x.1 + 12 + 4x 

= 4x2 - 4x + 1 + 4x 

= 4x2 + 1  = VT (đpcm)

3. Dạng 3: Tính nhanh

a. Phương pháp giải: 

Áp dụng linh động những hằng đẳng thức cho những số tự động nhiên

b. Ví dụ minh họa: 

Tính nhanh:

a, 222 = (20 + 2)2 

= 202 + 2.20.2 + 22 

= 400 +80 + 4

= 484

b, 992 = (100 - 1)2

= 1002 - 2.100.1 + 12 

= 10000 – 200 + 1

= 9801

c, 19.21 = (20 – 1)(20 + 1)

= 202 - 12 

= 400 – 1 

= 399

4. Dạng 4: Tìm độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng những hằng đẳng thức và cần thiết chú ý: 

A2 ≥ 0  và -A2 ≤ 0 

b. Ví dụ minh họa: 

a, Chứng minh 9x2 - 6x + 3 luôn luôn dương với từng x

Lời giải 

Xét: 9x2 - 6x + 3 = 9x2 - 6x + 2 + 1 

 = (3x)2 - 2.3x.1 + 12 + 2 

= (3x + 1)2 + 2 

Ta có: (3x + 1)≥ 0 với từng x 

=> (3x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với từng x 

Vậy 9x2 - 6x + 3 luôn luôn dương với từng x

b, Chứng minh: -x2 - 4x - 7 luôn luôn âm với từng x

Xét: -x2 - 4x - 7 = -x2 - 4x - 4 - 3 

= -(x2 + 4x + 4) - 3 

= -(x + 2)2 - 3 

Ta có: (x + 2)2 ≥ 0 với từng x

=> -(x + 2)2 ≤ 0 với từng x

=> -(x + 2)2 - 3 ≤ -3 < 0 với từng x  

Vậy -x2 - 4x - 7 luôn luôn âm với từng x.

c, Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức M = x2 - 3x + 5 

Ta có: 

M = x2 - 3x + 5 

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

Vậy độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải đạt được Lúc Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

B. Lập phương của một tổng hoặc một hiệu: 

I. Lý thuyết: 

1. Lập phương của một tổng: 

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 

2. Lập phương của một hiệu: 

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức nhằm khai triển và rút gọn gàng biểu thức và tính độ quý hiếm biểu thức:  

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng hằng đẳng thức đang được học tập nhằm khai triển và rút gọn gàng biểu thức. 

b. Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Thực hiện tại luật lệ tính: 

a, (2x - 1)3 

= (2x)3 - 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 - 13

= 8x3 - 12x2 + 6x - 1 

b, (x + 4)3  

= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 

= x3 + 12x2 + 48x + 64

Ví dụ 2: Rút gọn gàng biểu thức: 

A = (3x- 1)3 - 4x(x - 2) + (2x - 1)2

 = (3x)3 - 3.(3x)2.1 + 3.3x.12 - 13 - 4x2 + 8x + 4x2 - 4x + 1

= 27x3 - 27x2 + 9x – 1 + 4x + 1

= 27x3 - 27x2 + 13x 

B = (x + 1)3 - 2x2(x - 2) + x3 

 = x3 + 3x2 + 3x + 1 - 2x3 + 4x2 + x3 

= 7x2 + 3x + 1 

Ví dụ 3: Viết những biểu thức sau bên dưới dạng lập phương một tổng hoặc lập phương một hiệu: 

a, x3 + 12x2 + 48x + 64 

b, Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải + 8xy2 - 8y3

Lời giải 

a, x3 + 12x2 + 48x + 64 

= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43

= (x + 4)3 

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải

Ví dụ 4: Tính độ quý hiếm những biểu thức sau: 

a, A = x3 + 6x2 + 12x + 8 bên trên x = 48

b, B = x3 - 3x2 + 3x - 1  tại x = 1001

Lời giải 

a, A = x3 + 6x2 + 12x + 8 

Ta có: A = x3 + 6x2 + 12x + 8 

= x3 + 3x2.2 + 3.x22 + 23 

= (x + 2)3 

Thay x = 48 vô biểu thức A tớ được: 

A = (48 + 2)3  = 503  = 125000

b, B = x3 - 3x2 + 3x - 1  tại x = 101

Ta sở hữu B = x3 - 3x2 + 3x - 1 

= x3 - 3x2.1 + 3.x.12 - 13 

= (x – 1)3 

Thay x = 1001 vô biểu thức B tớ được: 

B = (101 – 1)3  = 1003  = 1000000 

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức nhằm tính nhanh: 

a. Phương pháp giải:

Sử dụng linh động những hằng đẳng thức nhằm tính nhanh

b. Ví dụ minh họa: 

Tính nhanh: 

a, 1993  

= (200 - 1)3 

= 2003 - 3.2002.1 + 3.200.12 - 13 

= 8000000 – 120000 + 600 – 1 

= 7880599.   

b, 1013 

= (100 + 1)3 

= 1003 + 3.1002.1 + 3.100.12 + 13 

 = 1000000 + 30000 + 300 + 1

= 1030301

C. Tổng hoặc hiệu nhị lập phương: 

I. Lý thuyết: 

1. Tổng nhị lập phương: 

A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2

2. Hiệu nhị lập phương: 

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2

II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức nhằm rút gọn gàng và khai triển biểu thức: 

a. Phương pháp giải: 

Sử dụng những hằng đẳng thức đang được học tập nhằm khai triển hoặc rút gọn gàng biểu thức.

b. Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Thực hiện tại luật lệ tính: 

a, x3 + 64 

= x3 + 43 

= (x + 4)(x2 + 4x + 42

= (x + 4)(x2 + 4x + 16) 

b, 8x3 - 27 

= (2x)3 – 33 

 = (2x – 3)[(2x)+ 2x.3 + 32

= (2x – 3)(4x2 + 6x + 9) 

Ví dụ 2: Rút gọn gàng biểu thức: 

a, (x - 2)3 + (x + 1)3 

 = (x - 2 + x + 1)[(x - 2)2 - (x - 2)(x + 1) + (x + 1)2

= (2x – 1)[x2 - 4x + 4 - (x2 - x - 2) + x2 + 2x + 1] 

= (2x – 1)(x- x + 7 )

= 2x3 - 2x2 + 14x - x2 + x - 7

= 2x3 - 3x2 + 15x - 7  

b, (3x + 4)(9x2 - 12x + 16)

= (3x + 4)[(3x)2 - 3.4x + 42

= (3x)3 + 43 

= 27x3 + 64

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức nhằm tính nhanh

a, Phương pháp giải: 

Sử dụng những hằng đẳng thức đang được học tập nhằm phân tách và tính

Chú ý thêm: 

A3 + B= (A + B)3 - 3AB(A + B) 

A3 - B= (A - B)3 - 3AB(A - B) 

b, Ví dụ minh họa: 

Tính nhanh: 

a, 203 + 1 

 = (20 + 1)(202 - trăng tròn + 1 )

= 21.(400 - trăng tròn + 1)

=8400 - 420 + 21

= 7980 + 21   

= 8001

b, 523  - 8 

= 523 - 23

Xem thêm: Lý thuyết hình vuông | SGK Toán lớp 8

= (52 – 2)3 + 3.52.2.(52 – 2)

= 503 + 6.52.50

= 125000 + 300.52

= 125000 + 15600

= 140600

c, 193 

 = (20– 1)3 

= 203 - 13 - 3.20.1(20 – 1)

= 8000 – 1 – 60.19 

= 8000 – 1 – 1140

= 6859    

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải

III. Bài tập luyện tự động luyện: 

Bài 1: Thực hiện tại luật lệ tính: 

a, (x - 4)2 

b, (3x + 2)2  

c, (2x - 3)2 

d, (x - 4)(x + 4) 

Lời giải

a, (x - 4)2 

= x2 - 4x + 16

b, 9x2 + 12x + 4   

c, 4x2 - 12x + 9  

d, x2 - 16  

Bài 2: Thực hiện tại luật lệ tính: 

a, (x - 3)3 

b, (1 + 2x)3 

c, Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

d, (x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2 )

Lời giải

a, x3 - 9x2 + 27x - 27  

b, 1 + 6x + 12x2 + 8x3  

c, Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

d, x3 - 27y3 

Bài 3: Viết những biểu thức bên dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu: 

a, 9x2  - 12 + 4

b, Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

c, 4x2y2 - 12xy2 + 9  

d, (x + y)2 - 4(x + y) + 4  

Lời giải

a, (3x - 2)2 

b, Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

c, (2xy2 - 3)2  

d, [(x + y) - 2]2  

Bài 4: Chứng minh những đẳng thức sau: 

a, Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

b, 2(x2 + y2) = (x + y)+ (x - y)2

Lời giải

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải

= ab = VP (đpcm)

b, 2(x2 + y2) = (x + y)+ (x - y)2   

Xét VP = (x + y)+ (x - y)2 

 = x2 + 2xy + y+ x2 - 2xy + y2 

 = 2x+ 2y2

= 2(x2 + y2) = VT (đpcm)

Bài 5: Rút gọn gàng biểu thức: 

a, A = (2x - 1)2 - 2(2x - 3)2 + 4 

b, B = (3x + 2)2 + 2(2 + 3x)(1 - 2y) + (2y - 1)2  

c, C = (x2 + 2xy)2 + 2(x+ 2xy)y2 + y4 

d, D = (x - 1)3 + 3x(x - 1)2 + 3x2(x -1) + x3 

Lời giải

a, A = -4x2 + 20x - 13 

b, B = [(3x + 2) + (1 - 2y)]2  

= (3x - 2y + 3)2 

c, C = [(x2 + 2xy) + y2]2 

 = (x2 + 2xy + y2)2

= [(x + y)2]2

= (x + y)4  

d, D = [(x - 1) + x]3 

= (2x – 1)3 

Bài 6: Rút gọn gàng biểu thức: 

a, N = (2x + 3y)(4x2 - 6xy + 9y2

b, Phường = (x - y)(x2 + xy + y2) - (x + y)(x2 - xy + y2)   

c, Q = (x2 - 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) - x3(x – y)(x2 + xy + y2) + 8y3 

Lời giải

a, N = [(2x)3 + (3y)3

= (8x3 + 27y3

b, Phường = [(x3 - y3) - (x3 + y3)] 

= -2y3 

c, Q = [(x2)- (2y)3] - x3(x3 - y3) + 8y3 

= x6 - 8y3 - x6 + x3y3 + 8y3 

= x3y3 

Bài 7: Tính độ quý hiếm của những biểu thức sau:  

a, A = 25x2 - 10xy2 + y4 bên trên x = 5, hắn = 4

b, B = (x + 3)2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x + 2)(x - 4) với x = -Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

c, C = 27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3 bên trên x = 4, hắn = 6 

d, D = Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải tại x = 206, hắn = 1

e, E = 27x3z6 - 54x2yz4 + 36xy2z2- 8y3  bên trên x = 25, hắn = 150, z = 2

f, F = (6x + 2)(9x2 - 3x + 1) – (x + 1)(x2 - x + 1) bên trên x = Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

Lời giải

a, A = 81

b, B = 11

c, C = 0

d, D = 997552

e, E = 0

f, F = Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

Bài 8: Tính nhanh: 

a, 292 

b, 62.58

c, 1022 

d, 1013 

e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93 

f, 183 - 3.182.8 + 3.18.82 - 29 

g, 183 + 23

h, 233 - 27  

Lời giải

a, 292 

= (30 – 1)2 

= 841

b, 62.58 

= (60 + 2)(60 – 2)

= 602 - 22 

= 3596

c, 1022 

= (100 + 2)2

= 10404

d, 1013 

= (100 + 1)3 

= 1030301

e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93 

= (91 + 9)3 

= 1003 

= 1000000

f, 183 - 3.182.8 + 3.18.82 - 29 

 = (18 – 8)3 

= 103 

= 1000

g, 183 + 23  

= (18 + 2)3 – 3.18.2(18 + 2)

= 203 - 6.18.20

= 5840

h, 233  - 27 

= 233 - 33 

= (23 – 3)3 + 3.23.3.(23 – 3)

= 203 + 9.23.20

= 12140

Bài 9: Tính độ quý hiếm biểu thức: 

a, A = 2(x3 + y3) - 3(x2 + y2) biết x + hắn = 1

b, B = x3 + y+ 3xy  biết x + hắn = 1

c, C = 8x3 - 27y3 biết xy = 4 và 2x – 3y = 5

Lời giải

a, A = -1

b, B = 1

C = 485

Bài 10: Chứng minh những biểu thức sau ko tùy thuộc vào độ quý hiếm của biến hóa x: 

a, A =3(x – 1)2 - (x + 1)2 + 2(x – 3)(x + 3) – (2x + 3)2 - (5 – 20x)

b, B = -x(x + 2)2 + (2x + 1)2 + (x + 3)(x2 - 3x + 9) – 1 

Lời giải

a, A = - 30   

b, B = 27

Bài 11: Tính độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức: 

a, A = x2 + x - 2

b, B = x2 + x - 3 

c, C = x2 + y2 - 3x + 2y + 3 

d, D = x2 + 10y2 - 6xy - 10y + 26

Lời giải:

a, A = x2 + x - 2 

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải

b, B = x2 + x - 3  

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải

c, C = x2 + y2 - 3x + 2y + 3 

Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải

d, D = x2 + 10y2 - 6xy - 10y + 26  

Ta có: D = (x2 - 6xy + 9y2) + (y2 - 10y + 25) + 1 

= (x - 3y)2 + (y - 5)2 + 1 ≥ 1 với từng x

=> Dmin = 1 Lúc x =15, hắn = 5

Bài 12: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức: 

a, A = 12x – 4x2 + 3

b,   B = 6x - x2 + 3

c, C = 12x – 8y – 4x2 - y2 + 1

d, D = 2x – 6y - x2 - y2 - 2

Lời giải

a, A = 12x – 4x2 + 3

Ta có: A = -(2x - 3)2 + 12 ≤ 12 với từng x

=> Amax = 12 Lúc x = Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải 

b, Bmax = 12 Lúc x = 3

c, Cmax = 26 Lúc x = Những hằng đẳng thức lưu niệm và cơ hội giải và hắn  = - 4

d, Dmax = 8 Lúc x = 1 và hắn = -3

Bài 13: Chứng minh rằng với từng a, b, c tớ luôn luôn có: 

(a + b + c)3 = a3 + b+ c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

Lời giải: Hướng dẫn: 

Đặt a + b = A, B = c

Ta có: VT = (a + b + c)3 

= (A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2 

Thay vô tớ được:

(A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2 

= (a + b )3 + c3 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2

= a3 + b3 + c+ 3a2b + 3ab2 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2

= a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + (a + b).c + c2]

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[(a(b +c) + c(b + c)] 

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a +c) + (b + c) = VP (đpcm)

D. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1. Khai triển biểu thức sau: A = x+1x+12.

Bài 2. Chứng minh bất phương trình sau luôn luôn đích thị ∀ x, hắn ∈ ℝ: x+yx+y.

Bài 3. Khai triển biểu thức sau: A = .

Bài 4. Chứng minh bất phương trình sau luôn luôn đích thị ∀ a, b > 0: a+ba+b.

Bài 5. Chứng minh: aba+b22.

Xem tăng những dạng bài xích tập luyện Toán lớp 8 tinh lọc, sở hữu đáp án hoặc khác:

  • Phương pháp Phân tích nhiều thức trở thành nhân tử
  • Phương pháp phân tách đơn thức, nhiều thức mang đến đơn thức
  • Phương pháp Chia nhiều thức cho 1 biến hóa đang được chuẩn bị xếp
  • Phương pháp nhân đơn thức với tương đối nhiều thức, nhiều thức với tương đối nhiều thức

Xem tăng những loạt bài xích Để học tập chất lượng tốt Toán lớp 8 hoặc khác:

  • Giải bài xích tập luyện Toán 8
  • Giải sách bài xích tập luyện Toán 8
  • Top 75 Đề ganh đua Toán 8 sở hữu đáp án

Săn shopee siêu SALE :

  • Sổ xoắn ốc Art of Nature Thiên Long color xinh xỉu
  • Biti's đi ra khuôn mẫu mới mẻ xinh lắm
  • Tsubaki 199k/3 chai
  • L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8

Bộ giáo án, bài xích giảng powerpoint, đề ganh đua giành riêng cho nghề giáo và gia sư giành riêng cho bố mẹ bên trên https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài tương hỗ ĐK : 084 283 45 85

Đã sở hữu phầm mềm VietJack bên trên điện thoại thông minh, giải bài xích tập luyện SGK, SBT Soạn văn, Văn khuôn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay lập tức phần mềm bên trên Android và iOS.

Theo dõi Shop chúng tôi free bên trên social facebook và youtube:

Xem thêm: TOP ảnh gái xinh mặc bikini mỏng siêu nhỏ xuyên thấu lọt khe

Loạt bài xích Lý thuyết & 700 Bài tập luyện Toán lớp 8 sở hữu tiếng giải chi tiết sở hữu không hề thiếu Lý thuyết và những dạng bài xích sở hữu tiếng giải cụ thể được biên soạn bám sát nội dung công tác sgk Đại số 8 và Hình học tập 8.

Nếu thấy hoặc, hãy khích lệ và share nhé! Các comment ko phù phù hợp với nội quy comment trang web sẽ ảnh hưởng cấm comment vĩnh viễn.


Giải bài xích tập luyện lớp 8 sách mới mẻ những môn học

BÀI VIẾT NỔI BẬT


Công thức tính thể tích khối chóp dễ hiểu nhất

Khối chóp là một hình học trong không gian ba chiều được tạo thành từ một hình bình hành ở đáy và các mặt tam giác kết nối từ các cạnh của hình bình hành đó đến một điểm gọi là đỉnh. Đỉnh này không nằm trên mặt phẳng của hình bình hành. Các mặt tam giác của khối chóp là các tam giác đều hoặc tam giác cân.