Tích Vectơ Với Một Số: Lý Thuyết Và Bài Tập - Toán 10

1. Lý thuyết cơ bạn dạng về tích vectơ với 1 số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với 1 số

Bạn đang xem: Tích Vectơ Với Một Số: Lý Thuyết Và Bài Tập - Toán 10

Tích của vectơ với một vài được khái niệm như sau:

Cho một vài thực $k\neq 0$, vectơ $\vec{a}\neq 0$. 

Tích của vectơ $\vec{a}$ với một vài thực $k\neq 0$ là một vectơ, kí hiệu k$\vec{a}$, nằm trong phía với vectơ $\vec{a}$ nếu như k>0, ngược phía với vectơ $\vec{a}$ nếu như k<0, vecto k$\vec{a}$ có tính lâu năm vì chưng $\left | k \right |\left | \vec{a} \right |$.

Quy ước: $0\vec{a}$=0; k$\vec{0}$=$\vec{0}$

1.2. Tính hóa học tích của vectơ với một số 

Tích của vectơ với một vài đem những tính chất:

a, Tính phân phối với luật lệ nằm trong vectơ:

$k(\vec{m}+\vec{n})=k\vec{m}+k\vec{n}$

b, Tính phân phối với luật lệ với những số:

$(a+b)\vec{x}=a\vec{x}+b\vec{x}$

c, Tính kết hợp:

$a(\vec{bc})=(ab)\vec{c}$

d, $1\vec{a}=\vec{a}, (-1)\vec{a}=-\vec{a}$

e, $k\vec{a}=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a}=0$

Áp dụng: 

• Nếu E là trung điểm của đoạn trực tiếp MN thì với từng điểm I, tớ có: 

               $\vec{IM}+\vec{IN}=2\vec{IE}$

• Nếu U là trọng tâm tam giác NCT thì từng điểm I tớ có:

               $\vec{IN}+\vec{IC}+\vec{IT}=3\vec{IU}$

1.3. Điều khiếu nại nhằm nhị vectơ nằm trong phương

• Điều khiếu nại cần thiết và đầy đủ nhằm vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} (\vec{b}\neq 0)$ nằm trong phương là tồn bên trên một vài k sao mang đến $\vec{a}=k\vec{b}$.

• Ba điểm phân biệt M, N, O trực tiếp sản phẩm Khi và chỉ Khi đem số $k\neq 0$ để $\vec{MN}=k\vec{MO}$.

1.4. Cách phân tách một vectơ trở thành nhị vectơ ko nằm trong phương

Cho vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là nhị vectơ ko nằm trong phương. Khi cơ từng vectơ kđều được màn trình diễn một cơ hội có một không hai theo đòi nhị vecto $\vec{a},\vec{b}$: $\vec{k}=m\vec{a}+n\vec{b}$, vô cơ m, n là những số thực có một không hai.

Đăng ký ngay lập tức sẽ được những thầy cô ôn tập dượt và thiết kế suốt thời gian ôn đua trung học phổ thông môn Toán vững vàng vàng

2. Một số bài xích tập dượt tích của vectơ với 1 số

2.1. Tính chừng lâu năm vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng khái niệm và những quy tắc nằm trong, trừ những vectơ nhằm dựng vectơ chứa chấp tích của vectơ với một vài, kết phù hợp với những toan lý Pytago, hệ thức lượng vô tam giác vuông nhằm tính chừng lâu năm vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng những vectơ sau đây và tính chừng lâu năm của chúng:

a, $\vec{MA}+\frac{1}{2} \vec{CB}$

b, $\vec{BA}-\frac{1}{2} \vec{BC}$

c, $2\vec{AC}+\frac{11}{2} \vec{AB}$

d, $\frac{5}{2}\vec{MB}+\frac{3}{4}\vec{MA}$

Lời giải: 

a, Ta có: $\frac{1}{2}\vec{CB}=\vec{CM}$

Theo quy tắc 3 điểm tớ được: 

$\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{MA}=\vec{CM}+\vec{MA}=\vec{CA}$

Vậy: $\left | \frac{1}{2} \vec{CB+\vec{MA}}\right |=\left | \vec{CA} \right |=a$

b, Vì $\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ nên theo đòi quy tắc trừ tớ có:

$\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{BA}-\vec{BM}=\vec{MA}$

Theo toan lý Pytago tớ có: $MA=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy, $\left | \vec{BA}-\frac{1}{2}BC \right |=\vec{MA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua quýt A, Phường là đỉnh của hình bình hành APQN

d, Lấy điểm K nằm trong đoạn AM sao mang đến $MK=\frac{3}{4}MA$, điểm H nằm trong tia $\vec{BM}$ sao mang đến $\vec{MH}=\frac{5}{2}\vec{MB}$.

Ví dụ 2: Hình vuông ABCD đem cạnh a

a, Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MD}$ ko tùy theo địa điểm của điểm M.

b, Tính $\left | \vec{u} \right |$.

Lời giải:  

a, Giả sử O là tâm hình vuông vắn ABCD. sít dụng quy tắc 3 điểm tớ có: 

$\vec{u}=4\vec{MO}+\vec{OA}-3\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}+\vec{OD}=4\vec{OA}-3\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OD}$

Mà: $\vec{OD}=-\vec{OB}, \vec{OC}=-\vec{OA}$ nên $\vec{u}=3\vec{OA}-\vec{OB}$

=> Vecto $\vec{u}$ ko dựa vào địa điểm của điểm M.

Xem thêm: Tổng quan về ảnh hình trắng

 

b, Lấy A' bên trên $\vec{OA}$ sao mang đến OA'=3OA

Khi đó: $\vec{OA'}=3\vec{OA}\Rightarrow \vec{u}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\vec{BA'}$

Mặt khác:

$\vec{BA'}=\sqrt{OB^{2}+(OA')^{2}}=\sqrt{OB^{2}+9OA^{2}}=a\sqrt{5}\Rightarrow \vec{u}=a\sqrt{5}$

2.2. Tìm một điểm vừa lòng một đẳng thức vectơ mang đến trước

Phương pháp giải: 

• Biến thay đổi đẳng thức vectơ trở thành dạng $\vec{AN}=\vec{a}$, điểm A và $\vec{a}$ vẫn biết. Khi cơ tồn bên trên có một không hai một điểm N sao mang đến $\vec{AN}=\vec{a}$. Để dựng điểm N, tớ lấy điểm A thực hiện gốc, dựng một vectơ vì chưng vectơ $\vec{a}$, kể từ cơ suy đi ra được điểm ngọn là vấn đề N.

• Biến thay đổi về đẳng thức vectơ vẫn biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn trực tiếp.

Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm những điểm M,N,Phường sao cho:

a, $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$
b, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}$
c, $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Lời giải:

a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

=> $\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}$

Do đó: $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$

$2\vec{MA}+2\vec{MI}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{MA}+\vec{MI}=\vec{0}$

=> Điểm M là trung điểm đoạn trực tiếp AI

b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD tớ có:

$\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{NK}+2\vec{NH}=\vec{0}$

=> Điểm N là trung điểm đoạn trực tiếp KH

c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD tớ có:

$\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=3\vec{PG}$

=> $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Điểm Phường là trung điểm đoạn trực tiếp AG.

Ví dụ 2: A, B là nhị điểm mang đến trước, nhị số thực $\alpha ,\beta $ vừa lòng $\alpha+\beta\neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn bên trên có một không hai một điểm I sao mang đến $\alpha\vec{IA}+\beta \vec{IB}=\vec{0}$. Từ cơ suy đi ra được $\alpha\vec{MA}+\beta \vec{MB}=(\alpha +\beta )\vec{MI}$ (M là vấn đề bất kì).

Lời giải: 

2.3. Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: sít dụng những loài kiến thức: đặc điểm vectơ, quy tắc thân phụ điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc luật lệ trừ, đặc điểm trung điểm, đặc điểm trọng tâm tam giác nhằm đổi khác.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh:

1. $\vec{BD}+\vec{AC}=2\vec{IJ}$

2. $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0}$

3. Với điểm M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MO}$

Lời giải: 

Ví dụ 2: Tam giác ABC đem AB=c, CA=b, BC=a, G là trọng tâm. Giả sử D,E,F theo lần lượt là hình chiếu của trọng tâm G lên những cạnh AB, AC,BC. Chứng minh:

$a^{2}\vec{GD}+b^{2}\vec{GE}+c^{2}\vec{GF}=\vec{0}$

Lời giải: 

Xem thêm: Ảnh gái xinh che mặt

Hy vọng nội dung bài viết bên trên trên đây đã hỗ trợ những em tóm được kiến thức và kỹ năng về tích của vectơ với một vài. Cạnh cạnh việc học tập lý thuyết những em cần thiết rèn luyện thêm thắt những dạng bài xích tập dượt hoặc gặp gỡ để sở hữu được bài xích đánh giá môn Toán đạt sản phẩm cao. Hình như những em hãy truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện và đào tạo ngay lập tức kể từ thời điểm hôm nay nhằm học hành đảm bảo chất lượng rộng lớn nhé!