Cách xác định nhanh góc giữa hai đường thẳng chéo nhau – Công thức và bài tập có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Cách xác lăm le nhanh chóng góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau – Công thức và bài bác luyện đem đáp án

1. Định nghĩa góc thân thiện hai tuyến đường thẳng

Trong không khí mang lại 2 đường thẳng liền mạch a, b ngẫu nhiên.

Từ một điểm O nào là tê liệt tao vẽ 2 đường thẳng liền mạch ${a}'$, ${b}'$ theo thứ tự tuy vậy song với a và b. Ta nhận ra rằng Lúc điểm O thay cho thay đổi thì góc thân thiện 2 đường thẳng liền mạch ${a}'$ và ${b}'$ bất biến.

Bạn đang xem: Cách xác định nhanh góc giữa hai đường thẳng chéo nhau – Công thức và bài tập có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Do tê liệt tao đem lăm le nghĩa:

Định nghĩa: Góc thân thiện 2 đường thẳng liền mạch a và b nhập không khí là góc thân thiện 2 đường thẳng liền mạch ${a}'$ và ${b}'$ nằm trong trải qua một điểm và theo thứ tự tuy vậy song với a và b.

2. Cách xác lập góc thân thiện hai tuyến đường thẳng

Để xác lập góc thân thiện 2 đường thẳng liền mạch a và b tao rất có thể lấy điểm O nằm trong 1 trong những hai tuyến đường trực tiếp tê liệt rồi vẽ một đường thẳng liền mạch qua chuyện O và tuy vậy song với đường thẳng liền mạch còn sót lại.

Nếu $\overrightarrow{u}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng liền mạch a và $\overrightarrow{v}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng liền mạch b và $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)=\alpha $ thì góc thân thiện 2 đường thẳng liền mạch a và b vì chưng $\alpha $ nếu như $0\le \alpha \le 90{}^\circ $ và vì chưng $180{}^\circ -\alpha $ nếu như $90{}^\circ <\alpha \le 180{}^\circ $. Nếu 2 đường thẳng liền mạch a và b tuy vậy song hoặc trùng nhau thì góc thân thiện bọn chúng vì chưng $0{}^\circ $. Góc thân thiện 2 đường thẳng liền mạch là góc đem số đo $0\le \alpha \le 90{}^\circ $.

3. Phương pháp tính góc thân thiện hai tuyến đường thẳng

Để tính góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp nhập không khí tất cả chúng ta chú ý những công thức sau:

■ Định lý hàm số cosin nhập tam giác ABC: $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$

Tương tự động tao có: $\cos \widehat{ABC}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2.BA.BC}$ và $\cos \widehat{ACB}=\frac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.CA.CB}$

Chú ý: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC\cos \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} \right)$

■ Tính góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp AB và CD tao tính góc thân thiện nhị vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ phụ thuộc công thức $\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\Rightarrow \cos \left( AB;CD \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}$ kể từ tê liệt suy đi ra góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp AB và CD.

Bài thói quen góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp d1 và d2 vì chưng đem đáp án chi tiết

Bài luyện 1: Cho hình chóp S.ABC đem lòng là tam giác đều cạnh a, $SA\bot \left( ABC \right)$ và $SA=a\sqrt{3}$. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp AN và CM.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy đi ra $AM=CE=\frac{a}{2}$.

Khi tê liệt $AE//CM\Rightarrow \left( \widehat{AE;CM} \right)=\left( \widehat{AN;AE} \right)=\varphi .$

Mặt không giống $SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\Rightarrow $ chừng nhiều năm đàng trung tuyến AN là $AN=\frac{SC}{2}=a.AE=CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Do $\Delta ABC$ đều nên $CM\bot AM\Rightarrow $ AMCE là hình chữ nhật.

Khi tê liệt $CE\bot AE$ tuy nhiên $CE\bot SA\Rightarrow CE\bot \left( SAE \right)\Rightarrow CE\bot SE.$

$\Delta SEC$ vuông bên trên E đem đàng trung tuyến $EN=\frac{1}{2}SC=a.$

Ta có: $\cos \widehat{NAE}=\frac{A{{N}^{2}}+A{{E}^{2}}-N{{E}^{2}}}{2.AN.AE}=\frac{\sqrt{3}}{4}>0\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right);\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.$

Khi tê liệt $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\cos 60{}^\circ -\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{-3{{a}^{2}}}{8}.$

Lại có: $AN=\frac{SC}{2}=a;CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| \frac{-3{{a}^{2}}}{8} \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Bình luận: Dựa nhập nhị cách tiến hành bên trên tao thấy rằng, nhập một vài tình huống, việc dùng khí cụ vectơ nhằm tính góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp canh ty Việc trở thành dễ dàng ràng rộng lớn rất rất nhiều!.

Bài luyện 2: Cho hình chóp S.ABC đem $SA=SB=SC=AB=a;AC=a\sqrt{2}$ và $BC=a\sqrt{3}$. Tính cosin góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp SC và AB.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Gọi M, N, P.. theo thứ tự là trung điểm của SA, SB và AC. Khi tê liệt $\left\{ \begin{array}  {} MP//SC \\  {} N//AB \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( \widehat{SC;AB} \right)=\left( \widehat{MP;MN} \right).$

Ta có: $MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};MP=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}.$

Mặt không giống $\Delta SAC$ vuông bên trên S $\Rightarrow SP=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

$B{{P}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow BP=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

Suy đi ra $P{{N}^{2}}=\frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-\frac{S{{B}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow NP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Khi tê liệt $\cos \widehat{NMP}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NMP}=120{}^\circ \Rightarrow \varphi =\left( \widehat{SC;AB} \right)=60{}^\circ .$

Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}$

$=\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)=-\frac{{{a}^{2}}}{2}.$

Suy đi ra $\cos \left( SC;AB \right)=\frac{\left| \frac{-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a.a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( SC;AB \right)=60{}^\circ .$

Bài luyện 3: Cho tứ diện ABCD đem $AB={{x}_{1}},CD={{x}_{2}};AC={{y}_{1}},BD={{y}_{2}},BC={{z}_{1}},AD={{z}_{2}}$. Tính góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp BC và AD.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DA}\text{ }=\text{ }\overrightarrow{BC}\left( \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD} \right)=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}$

$=\frac{1}{2}\left( C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-B{{D}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( C{{B}^{2}}+C{{A}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}-C{{A}^{2}} \right).$

Khi tê liệt $\cos \left( BC;DA \right)=\frac{\left| \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DA} \right|}{BC.DA}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2{{z}_{1}}{{z}_{2}}}.$

Đặc biệt: Nếu $AB=CD=x;AC=BD=y$ và $BC=AD=z$ tao đặt điều $\left\{ \begin{array}  {} \alpha =\left( \widehat{BC;AD} \right) \\  {} \beta =\left( \widehat{AB;CD} \right) \\  {} \gamma =\left( \widehat{AC;BD} \right) \\ \end{array} \right.$ thì tao có:

$\cos \alpha =\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}};\cos \beta =\frac{\left| {{y}^{2}}-{{z}^{2}} \right|}{{{x}^{2}}};\cos \gamma =\frac{{{z}^{2}}-{{z}^{2}}}{{{y}^{2}}}.$

Bài luyện 4: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình vuông vắn ABCD cạnh 2a, $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SB=a\sqrt{5}$. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Tính cosin góc thân thiện 2 đường thẳng liền mạch SM và Doanh Nghiệp .

Lời giải chi tiết

■ Cách 1: Do $SA\bot \left( ABCD \right).$

Ta có: $SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a$. Gọi E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AE. Dễ thấy BNDE là hình bình hành và XiaoMI là đàng tầm nhập tam giác ABE. Khi tê liệt $DN//BE//MI.$

Tacó: $AM=a;AI=\frac{AE}{2}=\frac{a}{2}.$

Mặt khác: $S{{M}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}=2{{a}^{2}};S{{I}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}.$

$MI=A{{I}^{2}}+A{{M}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}$. Do vậy $\cos \widehat{SMI}=\frac{S{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}-S{{I}^{2}}}{2.SM.MI}=\frac{\sqrt{10}}{5}=cos(\widehat{SM;DN}).$

■ Cách 2: Ta có: $\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{DN}\text{ }=\text{ }\overrightarrow{SM}.\left( \overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SD} \right)=\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SN}\text{ }-\text{ }\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{SD}$

$\text{=}\frac{1}{2}\left( S{{M}^{2}}+S{{N}^{2}}-M{{N}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{M}^{2}}+S{{D}^{2}}-M{{D}^{2}} \right)$

Mặt khác: $S{{N}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}=6{{a}^{2}},MN=\frac{AC}{2}=\text{ }a\sqrt{2},S{{D}^{2}}=5{{a}^{2}},M{{D}^{2}}=5{{a}^{2}}.$

Do tê liệt $\overrightarrow{SM}.\overrightarrow{DN}=2{{a}^{2}}\Rightarrow \cos \left( SM;DN \right)=\frac{\left| 2{{a}^{2}} \right|}{SM.DN}=\frac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$

Bài luyện 5: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng ABCD là hình chữ nhật đem $AB=a;AD=a\sqrt{2},\text{ }SA\bot \left( ABCD \right)$ và $\text{SA=2a}\text{.}$

a) Tính cosin góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp BC và SD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin góc thân thiện hai tuyến đường trực tiếp SB và AI.

Lời giải chi tiết

a) Do $BC//AD\Rightarrow (\widehat{SD;BC})=(\widehat{SD;AD})=\widehat{SDA}$

$\Delta SAD$ vuông bên trên A $\Rightarrow \cos \widehat{SDA}=\frac{AD}{SD}=\frac{AD}{\sqrt{A{{D}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Xem thêm: Ca-ta (Qatar) | Hồ sơ - Sự kiện - Nhân chứng

b) Gọi M, K theo thứ tự là trung điểm của AB và SA thì MK là đàng tầm nhập tam giác SAB.

Khi tê liệt $MK//SB$, mặt mày không giống $MC//AI.$

Suy đi ra $(\widehat{SB;AI})=(\widehat{MK;CM}).$

Ta có: $MK=\frac{SB}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$; $MC=\sqrt{M{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{3a}{2}$; $KC=\sqrt{K{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a.$

Khi tê liệt $cos\widehat{KMC}=\frac{K{{M}^{2}}\text{+ }M{{C}^{2}}-K{{C}^{2}}}{2.KM.MC}=-\frac{1}{3\sqrt{5}}\Rightarrow cos\left( \widehat{SB;AI} \right)=\frac{1}{3\sqrt{5}}.$

Cách khác: Ta có:$\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{SB}.\left( \overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SA} \right)=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}$

$=\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{I}^{2}}-I{{B}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)$

Do $S{{B}^{2}}=5{{a}^{2}};S{{I}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}+D{{I}^{2}}=\frac{25{{a}^{2}}}{4};AI=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{I}^{2}}}=\frac{3a}{2}=IB.$

Suy đi ra $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AI}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow \cos \left( SB;AI \right)=\frac{\left| \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AI} \right|}{SB.AI}=\frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{a\sqrt{5}.\frac{3a}{2}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}.$

Bài luyện 6: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình thoi cạnh a, $\widehat{ABC}=60{}^\circ $. Tam giác SAB cân nặng bên trên S và nằm trong mặt mày phẳng phiu vuông góc với lòng. tường rằng SC tạo ra với lòng một góc $30{}^\circ $. Tính cosin góc giữa

a) SD và BC.

b) DH và SC, với H là chân đàng cao hạ kể từ S xuống mặt mày lòng (ABCD).

Lời giải chi tiết

a) Do $AB=BC=a$, $\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta ABC$ đều cạnh a.

Gọi H là trung điểm của AB, tự tam giác SAB cân nặng bên trên S nên $SH\bot AB.$

Mặt không giống $\left\{ \begin{array}  {} \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\  {} AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$

$\Delta ABC$ đều nên $CH=\frac{a\sqrt{3}}{2},\left( \widehat{SC;\left( ABC \right)} \right)=\text{ }\widehat{SCH}=30{}^\circ $

Ta có: $SH=HC\tan 30{}^\circ =\frac{a}{2}.$

Do $\widehat{ABC}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{BAD}=120{}^\circ \Rightarrow HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AH.AD\cos 120{}^\circ }=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$

Suy đi ra $SA=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SD=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}$.

Mặt không giống $AD//BC\text{ }\Rightarrow \left( \widehat{BC;SD} \right)=\left( \widehat{AD;SD} \right)$, $\cos \widehat{SDA}=\frac{D{{S}^{2}}+D{{A}^{2}}-S{{A}^{2}}}{2.DS.DA}=\frac{5\sqrt{2}}{8}.$

Do vậy $cos\left( \widehat{BC;SD} \right)=\frac{5\sqrt{2}}{8}.$

b) Ta đem $\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{SC}.\left( \overrightarrow{SH}-\overrightarrow{SD} \right)=\text{ }\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SH}-\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SD}$

$=\frac{1}{2}\left( S{{H}^{2}}+S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{C}^{2}}+S{{D}^{2}}-C{{D}^{2}} \right)=-\frac{3{{a}^{2}}}{4}$

Mặt khác: $SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=a\Rightarrow \cos \left( SC;DH \right)=\frac{\left| \overrightarrow{SC};\overrightarrow{DH} \right|}{SC.DH}=\frac{\frac{3{{a}^{2}}}{4}}{a.\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}.$

Cách khác: Gọi I là trung điểm của CD$\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} DH//BI \\  {} DH=BI=\frac{a\sqrt{7}}{2} \\ \end{array} \right.$, gọi M là trung điểm của SD

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} MI//SC \\  {} MI=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2} \\ \end{array} \right.$. Lại có: $BD=a\sqrt{3}$; $SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Do tê liệt $B{{M}^{2}}=\frac{B{{D}^{2}}+B{{S}^{2}}}{2}-\frac{S{{D}^{2}}}{4}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow \cos \widehat{MIB}=\frac{M{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}{2.IM.IB}=\frac{3\sqrt{17}}{14}.$

Suy đi ra $\cos \left( \widehat{DH;SC} \right)=\frac{3\sqrt{17}}{14}.$

Bài luyện 7: Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình thang vuông bên trên A và B đem $AD=2AB=2CD=2a$ và $SA\bot \left( ABCD \right)$. Biết rằng SC tạo ra với lòng một góc $60{}^\circ $. Tính cosin góc giữa:

a) BC và SD.

b) AI và SD với I là trung điểm của CD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.$

Do $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( \widehat{SC;\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SCA}=\text{ }60{}^\circ .$

Khi tê liệt $SA=AC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}.$

Do $AD//BC\Rightarrow \left( \widehat{BC;SD} \right)=\left( \widehat{AD;SD} \right).$

Mặt không giống $\cos \widehat{ADS}=\frac{AD}{SD}~~=\frac{AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}~$

$=\frac{2a}{\sqrt{6{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}~=\frac{\sqrt{10}}{5}=c\text{os}\widehat{\left( \text{BC;SD} \right)}.$

b) Gọi E là trung điểm của $AD\Rightarrow AE=DE=BC=a\Rightarrow $ ABCE là hình vuông vắn cạnh a.

Do $CE=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \Delta ACD$ vuông bên trên C.

Ta có: $CD=\sqrt{C{{E}^{2}}+E{{D}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow ID=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Lại có: $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{SD}=\left( \overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SI}.\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SD}=\frac{1}{2}\left( S{{I}^{2}}+S{{D}^{2}}-D{{I}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{A}^{2}}+S{{D}^{2}}-A{{D}^{2}} \right)$

Trong tê liệt $A{{I}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow S{{I}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}=\frac{17{{a}^{2}}}{2}.$

Do tê liệt $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{SD}=3{{a}^{2}}\Rightarrow \cos \left( AI;SD \right)=\frac{3{{a}^{2}}}{AI.SD}=\frac{3{{a}^{2}}}{a\sqrt{10}}=\frac{3}{5}.$

Cách khác: Gọi M là trung điểm của SC$\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} MI//SD \\  {} MI=\frac{SD}{2}=\frac{a\sqrt{10}}{2} \\ \end{array} \right.,AI=\frac{a\sqrt{10}}{2},AM=\frac{SC}{2}=a\sqrt{2}.$

Khi tê liệt $\widehat{MIA}=\frac{I{{M}^{2}}+I{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}{2.IM.IA}=\frac{3}{5}.$

Bài luyện 8: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem lòng là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm ${A}'$ xuống mặt mày lòng (ABC) trung với trung điểm của BC. tường cạnh mặt mày tạo ra với mặt mày lòng một góc $60{}^\circ $.

a) Tính tan góc tạo ra vì chưng ${B}'{C}'$ và ${A}'C$.

b) Cosin góc tạo ra vì chưng $C{C}'$ và AB.

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có: $BC//{B}'{C}'\Rightarrow \left( \widehat{{B}'{C}';{A}'C} \right)=\left( \widehat{BC;{A}'C} \right)=\widehat{{A}'CH}.$

Mặt không giống ${A}'H\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{A{A}';\left( ABC \right)} \right)=\widehat{A{A}'H}=60{}^\circ .$

$AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {A}'H=AH\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{2}.$

Xét tam giác vuông ${A}'HC$ tao có: $\tan \widehat{{A}'CH}=\frac{{A}'H}{HC}=3.$

Vậy $\left( \widehat{B{C}';{A}'C} \right)=3.$

b) Do $C{C}'//A{A}'\Rightarrow \widehat{\left( C{C}';AB \right)}=\widehat{\left( A{A}';AB \right)}$

Xem thêm: Hình avatar buồn, phụ nữ khóc đầy cảm xúc

Ta có: ${A}'A=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=a\sqrt{3}.$

${A}'B=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\Rightarrow \cos \widehat{{A}'AB}=\frac{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{B}^{2}}-{A}'{{B}^{2}}}{2.A{A}'.AB}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Vậy $\cos \left( C{C}';AB \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

BÀI VIẾT NỔI BẬT


Ảnh gái xinh che mặt

Hình ảnh gái xinh che mặt tạo nên nét bí ẩn và hấp dẫn khi họ muốn chụp ảnh "sống ảo" trên mạng xã hội. Cùng khám phá những mẫu chụp ảnh gái xinh che mặt đẹp nhất dưới đây.