Công thức lượng giác, Các góc lượng giác đặc biệt
\(\begin{array}{l}\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \sin b.\cos a\\\sin (a – b) = \sin a.\cos b – \sin b.\cos a\\\cos (a + b) = \cos a.\cos b – \sin a.\sin b\\\cos (a – b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\\\tan (a + b) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a.\tan b}}\\\tan (a – b) = \dfrac{{\tan a – \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\end{array}\)
2. Công thức nhân đôi, nhân ba, hạ bậc
a) Công thức nhân đôi, nhân ba
$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha $
\(\cos 2\alpha \,\, = \,\,{\cos ^2}\alpha – {\sin ^2}\alpha \,\, \)
\(= \,\,2{\cos ^2}\alpha – 1\,\, \) \(= \,\,1 – 2{\sin ^2}\alpha \)
\(\tan 2\alpha \,\, = \,\,\dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 – {{\tan }^2}\alpha }}\)
\(\begin{array}{l}\sin 3\alpha = 3\sin \alpha – 4{\sin ^3}\alpha \\\cos 3\alpha = 4{\cos ^3}\alpha – 3\cos \alpha \\\tan 3\alpha = \dfrac{{3\tan \alpha – {{\tan }^3}\alpha }}{{1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}\end{array}\)
b) Công thức hạ bậc
\(\begin{array}{c}{\sin ^2}\alpha \,\, = \,\,\dfrac{{1 – \cos 2\alpha }}{2}\\{\cos ^2}\alpha \, = \,\,\dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\\{\tan ^2}\alpha \, = \,\,\dfrac{{1 – \cos 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\cos ^3}\alpha = \dfrac{{3\cos \alpha + \cos 3\alpha }}{4}\\{\sin ^3}\alpha = \dfrac{{3\sin \alpha – \sin 3\alpha }}{4}\end{array}\)
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
$\cos a\cos b $ $= \dfrac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a – b)} \right]$
$\sin a\sin b $ $= – \dfrac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) – \cos (a – b)} \right]$
$\sin a\cos b $ $= \dfrac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a – b)} \right]$
4. Công thức biển đổi tổng thành tích
\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}.\cos \dfrac{{a – b}}{2}\\\cos a – \cos b = – 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}.\sin \dfrac{{a – b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}.\cos \dfrac{{a – b}}{2}\\\sin a – \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}.\sin \dfrac{{a – b}}{2}\\\tan a + \tan b = \dfrac{{\sin (a + b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\tan a – \tan b = \dfrac{{\sin (a – b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\cot a + \cot b = \dfrac{{\sin (a + b)}}{{\sin a.\sin b}}\\\cot a – \cot b = \dfrac{{\sin (b – a)}}{{\sin a.\sin b}}\end{array}\
Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt
Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: ” $\cos $ đối $\sin $ bù phụ chéo hơn kém \(\pi \) tang côtang, hơn kém \(\dfrac{\pi }{2}\) chéo $\sin $”. Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.
