Vectơ trong không gian – Bài tập Hình học lớp 11 - hoc360.net

Vectơ nhập ko gian

A. CÁC KIÊN THỨC CẦN NHỚ

I. CÁC ĐỊNH NGHĨA

1. Vectơ, giá bán và phỏng nhiều năm của vectơ

Vectơ nhập không khí là một trong đoạn trực tiếp được bố trí theo hướng.

Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ vectơ đem điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}. \vec{x}, \vec{y}$ ….

2. Hai vectơ cân nhau, vectơ – không

II. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VECTƠ

1. Định nghĩa

2. Tính chất

3. Các quy tắc chú ý Lúc tính toán

a) Quy tắc phụ vương điểm

Bạn đang xem: Vectơ trong không gian – Bài tập Hình học lớp 11 - hoc360.net

Với phụ vương điểm A, B, C bất kì tao đem :

$\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AC}$ – $\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AC}$ + (- $\overrightarrow{AB}$ ) = $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{BA}$ = $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AC}$ (h.3.1).

b) Quy tắc hình bình hành

Với hình bình hành ABCD tao đem :

$\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$ (h.3.2).

c) Quy tắc hình hộp

Cho hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, AA’ là phụ vương cạnh đem đỉnh chung A và AC’ là lối chéo cánh (h.3.3), tao đem :

$\overrightarrow{AC'}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{AA'}$ .

d) Mở rộng lớn quy tắc phụ vương điểm

Cho n điểm $A_1, A_2, ..., A_n$ bất kì (h.3.4),

ta có: $\overrightarrow{A_1A_2}$ + $\overrightarrow{A_2A_3}$ + … $\overrightarrow{A_{n-1}A_n}$ = $\overrightarrow{A_1A_n}$

III. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. Định nghĩa. Cho số k ≠ 0 và vectơ $\vec{a}$ ≠ $\vec{0}$ . Tích của vectơ ã với số k là một trong vectơ, kí hiệu là k $\vec{a}$ , nằm trong phía với $\vec{a}$ nếu như k > 0, ngược phía với $\vec{a}$ nếu như k < 0 và có tính nhiều năm vì thế |k|.| $\vec{a}$ |.

2. Tính hóa học. Với từng vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và từng số m, n tao đem :

IV. ĐIỂU KIỆN ĐỔNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về hoảng sợ đồng bằng của phụ vương vecto nhập ko gian

Cho phụ vương vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đều không giống $\vec{0}$ nhập không khí. Từ một điểm o bất kì tao vẽ $\overrightarrow{OA}$ = $\vec{a}$ , $\overrightarrow{OB}$ = $\vec{b}$ , $\overrightarrow{OC}$ = $\vec{c}$ . Khi bại xẩy ra nhì tình huống :Khái niệm về việc đồng bằng của phụ vương vectơ nhập ko gian

2. Định nghĩa

Trong không khí, phụ vương vectơ được gọi là đồng bằng nếu như những giá bán của bọn chúng nằm trong tuy vậy song với một phía bằng.

3. Điều khiếu nại nhằm phụ vương vectơ đồng phẳng

Định lí 1. Trong không khí mang đến hai vectơ ko nằm trong phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và một vectơ $\vec{c}$ . Khi bại phụ vương vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đồng bằng Lúc và chỉ Lúc đem cặp số m, n sao mang đến $\vec{c}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{b}$ . Trong khi cặp số m, n là có một không hai (h.3.5).

4. Phân tích (biểu thị) một vectơ theo đòi phụ vương vectơ ko đồng phẳng

Định lí 2

Cho $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ là phụ vương vectơ ko đồng bằng. Với từng vectơ $\vec{x}$ nhập không khí tao đều tìm kiếm ra một cỗ phụ vương số m, n, p sao mang đến $\vec{x}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{b}$ + p $\vec{c}$ . Trong khi cỗ phụ vương số m, n, p là có một không hai.

Cụ thể $\overrightarrow{OX}$ = $\vec{x}$ , $\overrightarrow{OA}$ = $\vec{a}$ , $\overrightarrow{OB}$ = $\vec{b}$ , $\overrightarrow{OC}$ = $\vec{c}$ (h.3.6)

và $\overrightarrow{OX}$ = $\overrightarrow{OA'}$ + $\overrightarrow{OB'}$ + $\overrightarrow{OC'}$ với $\overrightarrow{OA}$ = m $\vec{a}$ , $\overrightarrow{OB'}$ = n $\vec{b}$ , $\overrightarrow{OC'}$ = p $\vec{c}$ .

Khi bại : $\vec{x}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{b}$ + p $\vec{c}$ .

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Xác lăm le những nguyên tố của vectơ

1. Phương pháp giải

a) Dựa nhập khái niệm những nguyên tố của vectơ;

b) Dựa nhập những đặc điểm hình học tập của hình tiếp tục mang đến.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Hãy nêu thương hiệu những vectơ cân nhau đem điểm đầu và điểm cuối là những đỉnh của lăng trụ.

Giải

Theo đặc điểm của hình lăng trụ tao suy đi ra :

$\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{A'B'}$ , $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{B'C'}$ , $\overrightarrow{CA}$ = $\overrightarrow{C'A'}$

$\overrightarrow{AB}$ = – $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{BC}$ = – $\overrightarrow{CB}$ , $\overrightarrow{CA}$ = – $\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AA'}$ = $\overrightarrow{BB'}$ = $\overrightarrow{CC'}$ = – $\overrightarrow{A'A}$ = – $\overrightarrow{B'B}$ = – $\overrightarrow{C'C}$

$\overrightarrow{AB}$ = – $\overrightarrow{B'A'}$ , $\overrightarrow{BC}$ = – $\overrightarrow{C'B'}$ , $\overrightarrow{CA}$ = – $\overrightarrow{A'C'}$

Ví dụ 2. Cho hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’. Hãy kể thương hiệu những vectơ đem điểm đầu và điểm cuối là những đỉnh của hình vỏ hộp thứu tự vì thế những vectơ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{AC}$ .

Giải

Theo đặc điểm của hình vỏ hộp (h.3.8) tao đem : $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{A'B'}$ = $\overrightarrow{D'C'}$

$\overrightarrow{AA'}$ = $\overrightarrow{BB'}$ = $\overrightarrow{CC'}$ = $\overrightarrow{DD'}$

$\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{A'C'}$

Ta cũng có thể có :

$\overrightarrow{AB}$ = – $\overrightarrow{CD}$ = – $\overrightarrow{B'A'}$ = -$latex \overrightarrow{C’D’} $

$\overrightarrow{AA'}$ = – $\overrightarrow{B'B}$ = – $\overrightarrow{C'C}$ = $\overrightarrow{D'D}$

$\overrightarrow{AC}$ = – $\overrightarrow{C'A'}$ , v.v…

Vấn đề 2

Chứng minh ly đẳng thức về vectơ

1. Phương pháp giải

a) Sử dụng quy tắc phụ vương điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp nhằm chuyển đổi vế này trở thành vế bại và ngược lại.

b) Sử dụng những đặc điểm của những quy tắc toán về vectơ và những đặc điểm hình học tập của hình tiếp tục mang đến.

2. Ví dụ

Vi dụ 1. Cho hình vỏ hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{AG}$ .

Giải

Theo đặc điểm của hình vỏ hộp :

$\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{AG}$ .

Dựa nhập quy tắc hình hộp tao rất có thể ghi chép tức thì thành phẩm :

$\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{AG}$ (h.3.9).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng

$\overrightarrow{SA}$ + $\overrightarrow{SC}$ = $\overrightarrow{SB}$ + $\overrightarrow{SD}$

Giải

Xem thêm: Công thức tính nửa chu vi hình chữ nhật và bài tập có lời giải từ A – Z

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD (h.3.10).

Ta đem :

$\overrightarrow{SA}$ + $\overrightarrow{SC}$ = 2 $\overrightarrow{SO}$ (1)

và $\overrightarrow{SB}$ + $\overrightarrow{SD}$ = 2 $\overrightarrow{SO}$ (2)

So sánh (1) và (2) tao suy đi ra $\overrightarrow{SA}$ + $\overrightarrow{SC}$ = $\overrightarrow{SB}$ + $\overrightarrow{SD}$ .

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD đem lòng là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng

$\overrightarrow{SA}^2$ + $\overrightarrow{SC}^2$ = $\overrightarrow{SB}^2$ + $\overrightarrow{SD}^2$ .

Giải

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD (h.3.11).

Ta có: | $\overrightarrow{OA}$ | = | $\overrightarrow{OB}$ | = | $\overrightarrow{OC}$ | = | $\overrightarrow{OD}$ | .

$\overrightarrow{SA}^2$ = $(\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA})^2$ = $\overrightarrow{SO}^2$ + $\overrightarrow{OA}^2$ +2. $\overrightarrow{SO}$ . $\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{SC}^2$ = $(\overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC})^2$ = $\overrightarrow{SO}^2$ + $\overrightarrow{OC}^2$ + 2 $\overrightarrow{SO}$ . $\overrightarrow{OC}$

⇒ $\overrightarrow{SA}^2$ + $\overrightarrow{SC}^2$ = 2 $\overrightarrow{SO}^2$ + $\overrightarrow{OA}^2$ + $\overrightarrow{OC}^2$ + 2 $\overrightarrow{SO}$ ( $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OC}$ ).

Mà $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OC}$ = $\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{SA}^2$ + $\overrightarrow{SC}^2$ = 2 $\overrightarrow{SO}^2$ + $\overrightarrow{OA}^2$ + $\overrightarrow{OC}^2$

Tương tự động tao đem : $\overrightarrow{SB}^2$ + $\overrightarrow{SD}^2$ = 2 $\overrightarrow{SO}^2$ + $\overrightarrow{OB}^2$ + $\overrightarrow{OD}^2$ .

Từ bại tao suy ra: $\overrightarrow{SA}^2$ + $\overrightarrow{SC}^2$ = $\overrightarrow{SB}^2$ + $\overrightarrow{SD}^2$ .

Ví dụ 4. Cho đoạn trực tiếp AB. Trên đoạn trực tiếp AB tao lấy điểm C sao cho

Vectơ nhập ko gian

Giải

Vectơ nhập ko gian

Vấn đề 3

Chứng minh phụ vương vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đồng phẳng

1. Phương pháp giải

a) Dựa nhập khái niệm : Chứng tỏ những vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ có mức giá tuy vậy song với một phía bằng.

b) Ba vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ đồng bằng ⇔ đem cặp số m, n có một không hai sao mang đến $\vec{c}$ = m $\vec{a}$ + n $\vec{b}$ , nhập bại $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là nhì vectơ ko nằm trong phương.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao mang đến $\overrightarrow{AM}$ = 3 $\overrightarrow{MD}$ và bên trên cạnh BC lấy điểm N sao mang đến $\overrightarrow{NB}$ = – 3 $\overrightarrow{NC}$ . Chứng minh rằng phụ vương vectơ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{DC}$ , $\overrightarrow{MN}$ đồng bằng.

Giải

Theo fake thiết $\overrightarrow{MA}$ = – 3 $\overrightarrow{MD}$

và $\overrightarrow{NB}$ = – 3 $\overrightarrow{NC}$ (h.3.13).

Mặt không giống $\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BN}$ (1)

và $\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{MD}$ + $\overrightarrow{DC}$ + $\overrightarrow{CN}$

⇒ 3 $\overrightarrow{MN}$ = 3 $\overrightarrow{MD}$ + 3 $\overrightarrow{DC}$ + 3 $\overrightarrow{CN}$ (2)

Cộng đẳng thức (1) và (2) cùng nhau vế theo đòi vế, tao có

Hệ thức bên trên chứng minh rằng phụ vương vectơ $\overrightarrow{MN}$ , $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{DC}$ đồng bằng.

Ví dụ 2. Cho hình vỏ hộp ABCD.EFGH. Gọi I là uỷ thác điểm hai tuyến đường chéo cánh của hình bình hành ABFE và K là uỷ thác điểm nhì. lối chéo cánh của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng phụ vương vectơ $\overrightarrow{BD}$ , $\overrightarrow{IK}$ , $\overrightarrow{GF}$ đồng bằng.

Giải

Vectơ $\overrightarrow{BD}$ có mức giá nằm trong mặt mũi phẳng (ABCD). Vectơ $\overrightarrow{IK}$ có mức giá tuy vậy song với đường thẳng liền mạch AC nằm trong mặt mũi bằng (ABCD).

Vectơ $\overrightarrow{GF}$ có mức giá tuy vậy song với đường thẳng liền mạch BC nằm trong mặt mũi bằng (ABCD). Vậy ba vectơ $\overrightarrow{BD}$ , $\overrightarrow{IK}$ , $\overrightarrow{GF}$ đồng bằng (h.3.14).

Cách không giống.

Ta có $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CD}$ = – $\overrightarrow{GF}$ + ( $\overrightarrow{AD}$ – $\overrightarrow{AC}$ )

= – $\overrightarrow{GF}$ – $\overrightarrow{GF}$ – 2 $\overrightarrow{IK}$ (vì $\overrightarrow{AC}$ = 2 $\overrightarrow{IK}$ )

Vậy $\overrightarrow{BD}$ = – 2 $\overrightarrow{GF}$ – 2 $\overrightarrow{IK}$ . Hệ thức này chứng minh rằng phụ vương vectơ $\overrightarrow{BD}$ , $\overrightarrow{GF}$ , $\overrightarrow{IK}$ đồng bằng.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.1. Cho hình lập phương A’B’C’D’ cạnh a. Gọi o và O’ theo đòi trật tự là tâm của nhì hình vuông vắn ABCD và A’B’C’D’.

a) Hãy trình diễn những vectơ $\overrightarrow{AO}$ , $\overrightarrow{AO'}$ theo đòi những vectơ đem điểm đầu và điểm cuối là những đỉnh của hình lập phương tiếp tục mang đến.

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{D'C'}$ + $\overrightarrow{D'A'}$ ’ = $\overrightarrow{AB}$

⇒ Xem đáp án bên trên trên đây.

3.2. Trong không khí mang đến điểm O và tư điểm A, B, C, D phân biệt và ko trực tiếp mặt hàng. Chứng minh rằng ĐK cần thiết và đầy đủ nhằm tư điểm A, B, C, D tạo nên trở thành một hình bình hành là :

$\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OC}$ = $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OD}$ .

⇒ Xem đáp án bên trên trên đây.

3.3. Cho tứ diện Gọi p và Q thứu tự là trung điểm của những cạnh AB và CD. Trên những cạnh AC và BD tao thứu tự lấy những điểm M, N sao cho

Chứng minh rằng phụ vương vectơ $\overrightarrow{PQ}$ , $\overrightarrow{PM}$ , $\overrightarrow{PN}$ đồng bằng.

⇒ Xem đáp án bên trên trên đây.

3.4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tính nhiều năm cạnh mặt mũi vì thế a. Trên những cạnh mặt mũi ẠA\’, BB’, CC’ tao lấy ứng những điểm M, N, p sao mang đến AM + BN + CP = a.

Chứng minh rằng mặt mũi bằng (MNP) luôn luôn trực tiếp trải qua một điểm cố định và thắt chặt.

⇒ Xem đáp án bên trên trên đây.

3.5. Trong không khí mang đến nhì hình bình hành ABCD và AB’C’D’ chỉ mất cộng đồng nhau một điểm A. Chứng minh rằng những vectơ $\overrightarrow{BB'}$ , $\overrightarrow{CC'}$ , $\overrightarrow{DD'}$ đồng bằng.

⇒ Xem đáp án bên trên trên đây.

3.6. Trên mặt mũi bằng (à) mang đến hình bình hành $A_1B_1C_1D_1$ . về một phía so với mặt mũi bằng (à) tao dựng hình’bình hành $A_2B_2C_2D_2$ . Trên những đoạn $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2, D_1D_2$ ta thứu tự lấy những điểm A, B, C, D sao cho

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.

⇒ Xem đáp án bên trên trên đây.

3.7. Cho hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’ đem Phường và R thứu tự là trung điểm những cạnh AB và A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ thứu tự là tâm đối xứng của những hình bình hành ABCD, CDD’C’ , A’B’C’D’, ADD’A’

Xem thêm: Lý thuyết hình vuông | SGK Toán lớp 8

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{PP'}$ + $\overrightarrow{QQ'}$ + $\overrightarrow{RR'}$ = $\overrightarrow{0}$

b) Chứng minh nhì tam giác PQR và P’Q’R’ đem trọng tâm trùng nhau.

⇒ Xem đáp án bên trên trên đây.

Vectơ trong không gian – Bài tập Hình học lớp 11 - hoc360.net

Vectơ nhập ko gian

A. CÁC KIÊN THỨC CẦN NHỚ

I. CÁC ĐỊNH NGHĨA

1. Vectơ, giá bán và phỏng nhiều năm của vectơ

2. Hai vectơ cân nhau, vectơ – không

II. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VECTƠ

1. Định nghĩa

2. Tính chất

3. Các quy tắc chú ý Lúc tính toán

III. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

IV. ĐIỂU KIỆN ĐỔNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

1. Phương pháp giải

2. Ví dụ

Vấn đề 2

1. Phương pháp giải

2. Ví dụ

Vấn đề 3

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

BÀI VIẾT NỔI BẬT

Tam giác đều là gì? Diện tích, tính chất tam giác đều

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình hộp chữ nhật.

Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Bài tập phương trình hóa học lớp 8

Cách viết phương trình hóa học lớp 8