Phương pháp xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Cho hai tuyến phố trực tiếp d₁ và d₂ và điểm A nằm trong đường thẳng liền mạch d₁:

+ Nếu hai tuyến phố trực tiếp này còn có nằm trong VTCP( hoặc VTPT) và điểm A ko nằm trong d₂ thì d₁// d₂

+ Nếu hai tuyến phố trực tiếp này còn có nằm trong VTCP( hoặc VTPT) và điểm A nằm trong d₂ thì d₁≡ d₂

+ Nếu VTPT của đường thẳng liền mạch này là VTCP của đường thẳng liền mạch cơ thì hai tuyến phố trực tiếp cơ vuông góc cùng nhau.

+ Nếu nhì VTCP ( hoặc VTPT) ko nằm trong phương và sở hữu tích vô phía không giống 0 thì hai tuyến phố trực tiếp cơ hạn chế nhau.

Chú ý: Cho nhì vecto a→( x; y); b→( x'; y' ) thì tích vô hướng a→. b→ = xx’ + yy’.

Để nhì vecto này vuông góc cùng nhau ⇔ xx’+ yy’ = 0

B. Ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁:  và
  d₂: 5x + 2y - 14 = 0.

  A. Trùng nhau.

  B. Song tuy vậy.

  C. Vuông góc cùng nhau.

  D. Cắt nhau tuy nhiên ko vuông góc nhau.

  Lời giải

  

  Chọn B.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁:  và d₂:  .

A. Trùng nhau.

B. Song tuy vậy.

C. Vuông góc cùng nhau.

D. Cắt nhau tuy nhiên ko vuông góc nhau.

Lời giải

+ Đường trực tiếp d₁ có VTCP u₁→( 4; -8).

+ Đường trực tiếp d₂ có VTCP u₂→( -2;4) và điểm B( 2; -8) nằm trong đường thẳng liền mạch này.

+ Thay tọa phỏng điểm B vô phương trình đường thẳng liền mạch d₁ ta được :

 không có mức giá trị này của t thỏa mãn nhu cầu.

Suy đi ra điểm B ko nằm trong đường thẳng liền mạch d₁. (1)

+ Lại có u₁→ = -2u₂→ (2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra: d₁// d₂

Chọn B.

Ví dụ 3. Xác toan vị trí tương đối của hai đường thẳng 
và  .

A. Trùng nhau.

B. Song tuy vậy.

C. Vuông góc cùng nhau.

D. Cắt nhau tuy nhiên ko vuông góc nhau.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 4. Xác toan vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁: 7x + 2y - 1 = 0 và
∆₂: 

A. Trùng nhau.

B. Song tuy vậy.

C. Vuông góc cùng nhau.

D. Cắt nhau tuy nhiên ko vuông góc nhau.

Lời giải

→ ∆₁, ∆₂ cắt nhau tuy nhiên ko vuông góc.

Chọn D.

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁:  và d₂: 3x + 2y - 14 = 0.

A. Trùng nhau.

B. Song tuy vậy.

C. Vuông góc cùng nhau.

D. Cắt nhau tuy nhiên ko vuông góc nhau.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 6. Tìm tọa phỏng phú điểm của đường thẳng liền mạch d:  và trục tung.

A. (1; 0)    B. (0; -5)    C. (5; 0)    D. (-2; 0)

Lời giải

Trục tung Oy sở hữu phương trình là x = 0

Giao điểm của đường thẳng liền mạch d và trục tung nếu như sở hữu lag nghiệm hệ phương trình:

Vậy phú điểm của đường thẳng liền mạch d và trục tung là vấn đề A( 0; -5)

Chọn B

Ví dụ 7. Đường trực tiếp này tại đây sở hữu đích một điểm cộng đồng với lối thẳng
d: ?

A. 7x + 3y - 1 = 0    B. 7x + 3y + 1 = 0

C. 3x - 7y + 2018 = 0    D. 7x + 3y + 10 = 0

Lời giải

Ta trả đường thẳng liền mạch d về dạng tổng quát:

Đường trực tiếp d: 

⇒ Phương trình tổng quát lác của d:

7( x + 2) + 3(y - 5) = 0 hoặc 7x + 3y - 1 = 0

+ Phương án A: Hai đường thẳng liền mạch này trùng nhau.

+ đường thẳng liền mạch d// d₂: 7x + 3y + 1 = 0 và d// d₃: 7x + 3y + 10 = 0

Chọn C.

Ví dụ 8. Tìm m nhằm hai tuyến phố trực tiếp a: 2x - 3y + 4 = 0 và b:  cắt nhau.

A. m ≠ -     B. m ≠ 2    C. m ≠     D. m = 

Lời giải

Ta trả phương trình đường thẳng liền mạch b về dạng tổng quát:

Đường trực tiếp b: 

⇒ Phương trình đường thẳng liền mạch b:

4m( x - 2) - 3( hắn - 1) = 0 hoặc 4m.x - 3y + 3 - 8m = 0

Để hai tuyến phố trực tiếp a và b hạn chế nhau Lúc và chỉ Lúc :

 ⇔ 2m ≠ 1 nên m ≠ 

Xem thêm: Ảnh gái xinh che mặt

Chọn C.

Ví dụ 9 . Tìm toàn bộ những độ quý hiếm của m nhằm hai tuyến phố trực tiếp d₁:  và
d₂: 4x - 3y + m = 0 trùng nhau.

A. m = -3    B. m = 1    C. m = 2    D. không có mức giá trị này của m

Lời giải

+ Ta trả đường thẳng liền mạch d₁ về dạng tổng quát:

Đường trực tiếp d₁: 

⇒ Phương trình tổng quát lác của đường thẳng liền mạch d₁:

m( x - 2) - 2( hắn - 1) = 0 hoặc m.x - 2y + 2 - 2m = 0

+ Với m = 0 thì đường thẳng liền mạch d₁ là : - 2y + 2 = 0 hoặc hắn - 1 = 0

⇒ hai tuyến phố trực tiếp d₁ và d₂ không trùng nhau nên m = 0 ko thỏa mãn nhu cầu.

+ Xét m ≠ 0.

Để hai tuyến phố trực tiếp đang được mang đến trùng nhau Lúc và chỉ Lúc :

 vô lí vì 

Vậy không tồn tại độ quý hiếm này của m thỏa mãn nhu cầu.

Chọn D.

Ví dụ 10. Cho hai tuyến phố trực tiếp d₁ :2x+ 3y-19= 0 và d₂:  . Tìm toạ phỏng phú điểm của hai tuyến phố trực tiếp đang được mang đến.

A. ( 2; 5)    B. ( 4; -1)    C. ( -1 ; 6)    D. (4; 3)

Lời giải

Giao điểm của2 đường thẳng liền mạch đang được mang đến nếu như sở hữu là nghiệm hệ phương trình:

Thay (1) và (2) vô ( *) tớ được :

2( 22 + 2t) + 3(55 + 5t) – 19 = 0

⇔ 44 + 4t + 165 + 15t - 19 = 0

⇔ 19t + 190 = 0 ⇔ t = -10

⇒ x = 2 và hắn = 5

Vậy phú điểm của hai tuyến phố trực tiếp đang được nghĩ rằng A( 2; 5)

Chọn A.

Ví dụ 11: Cho điểm A(0; -2) ; B( -1; 0); C(0; -4); D( -2; 0). Tìm tọa phỏng phú điểm của 2 đường thẳng liền mạch AB và CD

A. (1; -2)    B. (0; 2)    C. Vô số    D. Không sở hữu phú điểm.

Lời giải

+ Đường trực tiếp AB trải qua A( 0; -2) sở hữu vectơ chỉ phương là AB→(-1;2) nên sở hữu VTPT (2; 1) .

⇒ Phương trình: AB: 2( x - 0) + 1( hắn + 2) = 0 hoặc 2x + hắn + 2 = 0

+ Đường trực tiếp CD sở hữu vectơ chỉ phương là CD→ = (-2; 4).

+ Ta có: AB→ = (-1; 2) và CD→ = (-2; 4) nằm trong phương và điểm C ko nằm trong AB nên và CD không tồn tại phú điểm.

Chọn D.

Ví dụ 12. Các cặp đường thẳng liền mạch này tại đây vuông góc với nhau?

A. d₁:  và d₂: 2x + hắn - 1 = 0

B. d₁: x - 2 = 0 và d₂: 

C. d₁: 2x - hắn + 3 = 0 và d₂: x - 2y + 1 = 0

D. d₁: 2x - hắn + 3 = 0 và d₂: 4x - 2y + 1 = 0

Lời giải

Hai đường thẳng liền mạch vuông góc cùng nhau Lúc và chỉ Lúc :

+ Vecto pháp tuyến của đường thẳng liền mạch này là vecto chỉ phương của đường thẳng liền mạch cơ.

+ Tích vô vị trí hướng của nhì vecto chỉ phương của hai tuyến phố trực tiếp vì thế 0.

+ Tích vô vị trí hướng của nhì vecto pháp tuyến của 2 đường thẳng liền mạch vì thế 0.

Ta xét những phương án:

(i) → loại A.

(ii)  Chọn B.

Tương tự động, đánh giá và loại những đáp án C, D.

Chọn B.

Ví dụ 13. Lập phương trình của đường thẳng liền mạch ∆ trải qua phú điểm của hai tuyến phố trực tiếp (a):x + 3y - 1 = 0; (b):x - 3y - 5 = 0 và vuông góc với đường thẳng liền mạch (c):2x - hắn + 7 = 0.

A. 3x + 6y - 5 = 0.    B. 6x + 12y - 5 = 0.

C. 6x + 12y + 7 = 0 .    D. x + 2y + 10 = 0.

Lời giải

Giao điểm của hai tuyến phố trực tiếp a và b nếu như sở hữu là nghiệm hệ phương trình :

Vậy phú điểm của hai tuyến phố trực tiếp a và b là A(3; -  )

+ đường thẳng liền mạch ∆: 

⇒Phương trình ∆: 1( x - 3) + 2( hắn +  ) = 0

⇔ x + 2y -  = 0 ⇔ 3x + 6y – 5 = 0

Chọn A.

Ví dụ 14. Với độ quý hiếm này của m thì hai tuyến phố trực tiếp d₁: 4x - 3y + 3m = 0 và
d₂:  vuông góc với nhau?

A. m =     B. m =     C. m = -     D. m = 

Lời giải

+ đường thẳng liền mạch d₁ có VTPT n→( 4; -3).

+ Đường trực tiếp d₂ đi qua quýt M( 1; 4) và sở hữu VTCP u→( 2; m) nên nhận vecto n'→( m; -2) thực hiện VTPT.

+ Để hai tuyến phố trực tiếp đang được mang đến vuông góc cùng nhau Lúc và chỉ Lúc :

n→.n'→ = 0 ⇔ 4m - 3.(-2) = 0

⇔ 4m = - 6 ⇔ m = 

Chọn B.

Ví dụ 15. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁:  và d₂: 

A. Trùng nhau.

B. Song tuy vậy.

C. Vuông góc cùng nhau.

D. Cắt nhau tuy nhiên ko vuông góc nhau.

Lời giải

+ Đường trực tiếp d₁ có VTCP u₁→( 1; -2).

+ Đường trực tiếp d₂ có VTCP u₂→( -2;4) và điểm B( 2; -8) nằm trong đường thẳng liền mạch này.

+ Thay tọa phỏng điểm B vô phương trình đường thẳng liền mạch d₁ ta được :

 ⇔ t= 3

Suy đi ra điểm B nằm trong đường thẳng liền mạch d₁. (1)

Xem thêm: Tìm hiểu về nguyên hàm cos bình x và ứng dụng trong toán học

+ Lại có u₂→ = -2u₁→ (2)

Từ (1) và ( 2) suy đi ra hai tuyến phố này trùng nhau.

Chọn A.