Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABC sở hữu lòng ABC là tam giác vuông bên trên C, \(SA \bot (ABC).\)
Bạn đang xem: Hình học 11 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a) Chứng minh rằng: \(BC \bot (SAC)\).
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A bên trên SC. Chứng minh rằng: \(AE \bot (SBC).\)
c) Gọi (P) là mặt mũi phẳng lặng qua quýt AE và vuông góc với SB, (P) phó với SB bên trên D. Đường trực tiếp DE hạn chế BC bên trên F. Chứng minh rằng: \(AF \bot (SAB).\)
Lời giải:
.png)
a) Ta có: \(BC \bot AC{\rm{ }}(gt){\rm{ (1)}}\)
Mặt khác: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ BC \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(BC \bot (SAB).\)
b) Ta có: \(AE \bot SC{\rm{ (3) (gt)}}\)
Theo câu a tớ có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AE \bot BC{\rm{ (4)}}\)
Từ (3) (4) suy ra: \(AE \bot (SBC).\)
c) Ta xuất hiện phẳng lặng (P) đó là mặt mũi phẳng lặng (ADE).
Từ \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ AF \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot SA{\rm{ (5)}}\)
Do \(SB \bot (ADE) \Rightarrow AF \bot SB{\rm{ (6)}}\).
Từ (5) (6) suy ra: \(AF \bot (SAB).\)
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình thang vuông bên trên A và B, \(SA \bot (ABCD)\), AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: Tam giác SCD vuông.
Lời giải:
Ta có: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ CD \subset (ABCD) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot CD(1)\)
Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông vắn.
Xem thêm: Công thức tính bán kính mặt cầu - Trắc nghiệm mặt cầu có đáp án
Do cơ, \(\widehat {ACI} = {45^0}.\) (*)
Mặt không giống tam giác CID vuông cân nặng bên trên I nên \(\widehat {BCI} = {45^0}.\) (**)
Từ (*) (**) suy ra: \(\widehat {ACD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD (2)\).
Từ (1) và (2) suy ra: \(CD \bot (SAC) \Rightarrow CD \bot SC\).
Hay tam giác SCD vuông bên trên C.
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc với mặt mũi phẳng lặng lòng, \(SA = a\sqrt 6\). Tính sin của góc giữa:
a) SC và (SAB).
b) AC và (SBC).
Lời giải:
.png)
a) Ta có: \(BC \bot AB{\rm{ (gt)}}\).
\(SA \bot BC\) (Vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(BC \bot (SAB).\)
Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC bên trên mặt mũi phẳng lặng (SAB).
\(\Rightarrow (SC,(SAB)) = \widehat {BSC}.\)
Ta có: \(\sin (SC,(SAB)) = \sin \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
b) Trong mặt phẳng lặng (SAB) kẻ: \(AH \bot SB{\rm{ (H}} \in {\rm{SB)}}.\)
Theo câu a tớ có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC\) nên \(AH \bot (SBC)\) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC bên trên mặt mũi phẳng lặng (SBC).
Xem thêm: Công thức tính nửa chu vi hình chữ nhật và bài tập có lời giải từ A – Z
\(\Rightarrow (AC,(SBC)) = \widehat {ACH}.\)
Xét tam giác vuông SAB có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}} \Rightarrow AH = a.\sqrt {\frac{6}{7}} .\)
Vậy: \(\sin (AC,(SBC)) = \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)