Chứng minh công thức Euler mà học sinh 11 có thể hiểu được - Dãy số - Giới hạn

Công thức Euler: $\cos \theta  + i\sin \theta  = {e^{i\theta }}{\text{  }}(\theta {\text{ }}rad,{\text{ }}\theta  \in \mathbb{R}).$ (*)

biết "số một bên" $i$:   ${i^2} =  - 1$ và hằng số Euler: $e=\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {(1 + n)^n}$, e$\approx 2,71828$.

(+)${\rm{(}}({e^{ - i\theta }}(\cos \theta  + i\sin \theta ))' =  - i{e^{ - i\theta }}(\cos \theta  + i\sin \theta ) + {e^{ - i\theta }}( - \sin \theta  + i\cos \theta )$

                                             $ =  - i{e^{ - i\theta }}.\cos \theta {\text{ }} + {\text{ }}{e^{ - i\theta }}.\sin \theta {\text{ }} - {\text{ }}{e^{ - i\theta }}.\sin \theta {\text{ }} + {\text{ }}i{e^{ - i\theta }}.\cos \theta$

                                             $ = 0.$

$ \Rightarrow {e^{ - i\theta }}(\cos \theta  + i\sin \theta ) = const.{\text{     }}(a).$

(+) ${e^{ - i0}}(\cos 0 + i\sin 0) = 1$          (b)

$\because (a) \wedge (b)\therefore {e^{ - i\theta }}(\cos \theta  + i\sin \theta ) = 1.$

                              $ \Rightarrow \cos \theta  + i\sin \theta  = {e^{i\theta }}$ (Q.E.D.)

Ghi lưu giữ rằng: vì  ${e^{i\theta }}$ được khái niệm theo dõi hàm $cos(\theta)$ và $sin(\theta)$ nên $\theta$ tuần trả theo dõi chu kỳ luân hồi $2\pi$, tức là

${e^{i\theta }}={e^{i\theta +k2\pi}}$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Nói thêm thắt : $\theta : = \pi$ (*) $\Rightarrow {e^{i\pi }} + 1 = 0$ (Đồng nhất thức Euler)

Ví dụ: $\ln ( - 1) = i(\pi +k2\pi) (k \in \mathbb{Z})$ v.v..

Bài ghi chép đang được sửa đổi nội dung vày Hoang Huynh: 19-09-2021 - 20:04

Chứng minh này lướt qua quýt nhì phần quan tiền trọng:

1. Thế nào là là nón phức?

2. Thế nào là là đạo hàm của hàm số phức?

Một khi tiếp tục hiểu nhì định nghĩa này thì công thức Euler chỉ điều rõ ràng.

Chứng minh này lướt qua quýt nhì phần quan tiền trọng:

1. Thế nào là là nón phức?

2. Thế nào là là đạo hàm của hàm số phức?

Một khi tiếp tục hiểu nhì định nghĩa này thì công thức Euler chỉ điều rõ ràng.

Mong được anh giảng giải.

Mong được anh giảng giải.

Trước không còn các bạn nên không ngừng mở rộng định nghĩa nằm trong trừ nhân phân chia bên trên ngôi trường số thực sang trọng số phức, tiếp sau hàm nón và lũy quá, và tiếp sau đó là đạo hàm (tích phân). Không nên khi nào thì cũng rất có thể thực hiện được đâu.

Ví dụ $i^i$. Nếu lựa chọn $i=e^{i \frac{\pi}{2}}$ thì \[{i^i} = {e^{i\frac{\pi }{2}i}} = {e^{ - \frac{\pi }{2}}}\]

Tuy nhiên $e^{i \frac{\pi}{2}}$ ko nên là màn trình diễn độc nhất của $i$, tuy nhiên còn tồn tại ${e^{\left( {2k + 1} \right)i\frac{\pi }{2}}}$ với $k$ vẹn toàn ngẫu nhiên, vậy thì $i^i$ sẽ có được vô hạn thành quả không giống nhau là \[{e^{ - \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}}}\]

Bạn ngẫm coi với hợp lý và phải chăng không?

Sách cung cấp 3 thông thường ko lên đường vượt lên sâu sắc vào việc này, vì thế dòng sản phẩm đối tượng người tiêu dùng tuy nhiên học viên thông thường bắt gặp nằm trong group hàm sơ cung cấp, và đa số thành quả của bọn chúng đều rất có thể không ngừng mở rộng sang trọng ngôi trường số phức.

em với ghi chép câu cuối mà: " ví dụ : $\ln(-1) = i(\pi +k2\pi) (k \in \mathbb{Z})$"

Bài ghi chép đang được sửa đổi nội dung vày Hoang Huynh: 19-09-2021 - 18:47

https://en.wikipedia...mplex_logarithm

Lúc bản thân còn học tập chuyên nghiệp toán thì log phức ko được dạy dỗ bao nhiêu. Nếu các bạn với nhã hứng thì tìm hiểu thêm những tư liệu vô wiki.

Còn cơ hội chứng tỏ cho tới học viên lớp 11 nắm chắc thì bản thân thấy ko cần thiết bao nhiêu, vì thế cơ bạn dạng thì tiếp tục lướt qua quýt những phần cần thiết và sần sùi nhất rồi.

Trước không còn các bạn nên không ngừng mở rộng định nghĩa nằm trong trừ nhân phân chia bên trên ngôi trường số thực sang trọng số phức, tiếp sau hàm nón và lũy quá, và tiếp sau đó là đạo hàm (tích phân). Không nên khi nào thì cũng rất có thể thực hiện được đâu.

Ví dụ $i^i$. Nếu lựa chọn $i=e^{i \frac{\pi}{2}}$ thì \[{i^i} = {e^{i\frac{\pi }{2}i}} = {e^{ - \frac{\pi }{2}}}\]

Tuy nhiên $e^{i \frac{\pi}{2}}$ ko nên là màn trình diễn độc nhất của $i$, tuy nhiên còn tồn tại ${e^{\left( {2k + 1} \right)i\frac{\pi }{2}}}$ với $k$ vẹn toàn ngẫu nhiên, vậy thì $i^i$ sẽ có được vô hạn thành quả không giống nhau là \[{e^{ - \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}}}\]

Bạn ngẫm coi với hợp lý và phải chăng không?

Sách cung cấp 3 thông thường ko lên đường vượt lên sâu sắc vào việc này, vì thế dòng sản phẩm đối tượng người tiêu dùng tuy nhiên học viên thông thường bắt gặp nằm trong group hàm sơ cung cấp, và đa số thành quả của bọn chúng đều rất có thể không ngừng mở rộng sang trọng ngôi trường số phức.

Nói cách thứ hai là hàm thực $e^x$ là 1 trong những đơn ánh, tuy nhiên hàm phức $e^z$ thì ko.   

Nói công cộng thì các thắc mắc ngây ngô như vậy này thì ko tệ, tuy nhiên tốt nhất có thể là nên làm tạm dừng ở thắc mắc chứ chớ hợp tác vô thực hiện với những kỹ năng lẹo vá lỗ khu vực.   

Ý tưởng của việc khái niệm hàm $e^z$ là xuất phát điểm từ khai triển chuỗi luỹ quá \[e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},\] tớ cũng khái niệm \[e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.\] 
Tại sao khái niệm này chất lượng, "well-defined"? Vì (1) khái niệm này tương mến với tình huống $z=x$ là một số trong những thực, và (2) chuỗi số phức bên trên quy tụ vô cùng bên trên toàn diện mạo phẳng phiu phức $\mathbb{C}$. 

Cũng với và một phát minh như bên trên, người tớ khái niệm những hàm phức $\sin z, \cos z$ như 1 chuỗi luỹ quá. Viết bao nhiêu dòng sản phẩm chuỗi này rời khỏi là tớ với dòng sản phẩm gọi là "công thức Euler" thôi.  Khi các bạn biết khái niệm đúng chuẩn của những loại này thì công thức Euler vượt lên rõ ràng. 

Nhưng thắc mắc đưa ra là với khái niệm được những hàm không giống, ví như $a^z$ với $a$ là số thực ngẫu nhiên, Theo phong cách tựa như vậy không? Thậm chí tổng quát tháo rộng lớn là với khái niệm được $\omega^z$ với $\omega$ là số phức không? có vẻ như là ko được, hoặc nếu còn muốn thì tiếp tục nên lần một phía không giống trọn vẹn.

Mấy dòng sản phẩm đạo hàm ê thì cũng ko sai đối với định nghĩa đạo hàm phức (dù bản thân ko suy nghĩ các bạn biết tính năng này đâu). Nhưng yếu tố ở đó là đạo hàm của $e^z, \sin z, \cos z$ đều được xem qua quýt dòng sản phẩm chuỗi luỹ quá kia; nếu như không biết dòng sản phẩm màn trình diễn này thì sao tính nổi đạo hàm của $e^{i\theta}$? còn nếu như biết rồi thì chẳng việc gì nên đi làm việc theo dõi dòng sản phẩm loại này.

Em biết chuỗi, tuy nhiên em mong muốn tách dùng Maclaurin cho tới exp, cosine, sine; cũng chính vì học viên 11 rất có thể người sử dụng đạo hàm. Bỏ ngỏ đạo hàm phức tiếp tục dễ chịu và thoải mái rộng lớn quá nhận Maclaurin.

Bài ghi chép đang được sửa đổi nội dung vày Hoang Huynh: 05-10-2021 - 12:13

Em biết chuỗi, tuy nhiên em mong muốn tách dùng Maclaurin cho tới exp, cosine, sine; cũng chính vì học viên 11 rất có thể người sử dụng đạo hàm. Bỏ ngỏ đạo hàm phức tiếp tục dễ chịu và thoải mái rộng lớn quá nhận Maclaurin.

Cái yếu tố ở đó là đạo hàm của $e^z$ với $z\in \mathbb{C}$ được xem trải qua dòng sản phẩm chuỗi ê. Nếu như ko biết tính năng này thì việc tính đạo hàm $e^{i\theta}$ tựa như hàm thực là rất rất vớ vẩn.