Tìm hiểu về nguyên hàm của sin bình x trong toán học

Để lần công thức vẹn toàn hàm của hàm số sin bình x, tất cả chúng ta rất có thể dùng công thức hạ bậc hoặc những công thức lượng giác cơ bạn dạng.
Công thức hạ bậc:
∫sin^2xdx = ∫(1 - cos^2x)dx
Ta tiếp tục tiến hành tích phân của từng bộ phận vô công thức trên:
∫(1 - cos^2x)dx = ∫(1 - cosx)(1 + cosx)dx
Áp dụng quy tắc nhân khai quật đối tác chiến lược, tao có:
∫(1 - cos^2x)dx = ∫(1 - cos^2x)dx + ∫(cosx - cos^3x)dx
Tiếp theo gót, tất cả chúng ta tính từng phần riêng biệt biệt:
∫dx = x + C1
∫cosx dx = sinx + C2
∫cos^3x dx = ∫cosx(1 - sin^2x)dx = ∫cosx - sin^2xcosx dx
= sinx - ∫sin^2xdx
= sinx - ∫(1 - cos^2x)dx
= sinx - x + ∫cos^2xdx
= sinx - x + ∫(1 - sin^2x)dx
= sinx - x + x - ∫sin^2xdx
= sinx - x + x - ∫(1 - cos^2x)dx
= sinx - x + x - (x - ∫cos^2xdx)
Kết thích hợp những bộ phận, tao có:
∫sin^2xdx = x + C1 + sinx + C2 - x + x - (x - ∫cos^2xdx)
= sinx + x + C
Do cơ, công thức vẹn toàn hàm của hàm số sin bình x là ∫sin^2xdx = sinx + x + C.
Lưu ý: Trong quy trình đo lường, tất cả chúng ta vận dụng những luật lệ biến hóa và quy tắc tích phân trải qua kỹ năng đang được biết về tích phân và công thức hạ bậc.

Bạn đang xem: Tìm hiểu về nguyên hàm của sin bình x trong toán học

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của hàm số sin bình x là:
∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx
= (1/2)x - (1/4)sin(2x) + C
Với C là hằng số nằm trong.

Để fake hàm số sin bình x về dạng lượng giác cơ bạn dạng nhằm tính vẹn toàn hàm, tao dùng công thức hạ bậc. Công thức hạ bậc mang đến nồng độ giác cơ bạn dạng là:
sin²x = 1 - cos²x
Áp dụng công thức hạ bậc, tao có:
∫sin²xdx = ∫(1 - cos²x)dx
Sau cơ, tao tính vẹn toàn hàm của một và tính vẹn toàn hàm của -cos²x.
Nguyên hàm của một là x và vẹn toàn hàm của -cos²x rất có thể được xem bằng phương pháp dùng công thức vẹn toàn hàm của cosin hạng 2:
∫cos²xdx = ∫(1 + cos2x)/2 dx = (x + sin2x)/2 + C
Do cơ, vẹn toàn hàm của hàm số sin bình x được xem bằng phương pháp phối hợp thành phẩm kể từ nhì phần trên:
∫sin²xdx = x/2 + sin2x/2 + C
Trong cơ C là hằng số.

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin nón nhì x, tao rất có thể dùng công thức hạ bậc. Công thức này được chấp nhận tất cả chúng ta fake về lần vẹn toàn hàm của hàm con số giác cơ bạn dạng.
Cụ thể, nhằm lần vẹn toàn hàm của sin nón nhì x, tao rất có thể vận dụng công thức hạ bậc sau:
∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos^2(x))dx
Khi dùng công thức này, tao tiến hành việc thay cho thế cos^2(x) bởi vì 1 - sin^2(x) nhằm đơn giản và giản dị hóa biểu thức. Sau cơ, tao tính vẹn toàn hàm của từng bộ phận vô biểu thức.
Để tính vẹn toàn hàm của một, tao có:
∫1 dx = x + C1
Để tính vẹn toàn hàm của cos^2(x), tao rất có thể dùng công thức nằm trong sinh:
cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2
Đặt u = cos(2x), thì du = -2sin(2x)dx. phẳng cơ hội quy đổi biến đổi và thay cho thế, tao có:
∫(1 - cos^2(x))dx = ∫(1 - (1 + cos(2x))/2) dx
= ∫(1/2 - 1/2cos(2x)) dx
= 1/2∫dx - 1/2∫cos(2x)dx
= 1/2x - 1/4sin(2x) + C2
Kết thích hợp thành phẩm của tất cả nhì bộ phận, tao sở hữu thành phẩm sau cuối là:
∫sin^2(x)dx = x/2 - 1/4sin(2x) + C
Với C là hằng số tùy ý.

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin nhì x, tao rất có thể dùng công thức hạ bậc. Với hàm số f(x) = sin2x, tao vận dụng công thức hạ bậc để mang về dạng vẹn toàn hàm của hàm con số giác cơ bạn dạng.
Công thức hạ bậc mang đến hàm sin2x là: ∫sin2xdx = ∫(1-cos2x)/2dx.
Cuối nằm trong, tao tính được vẹn toàn hàm của hàm số sin nhì x là: ∫sin2xdx = ∫(1-cos2x)/2dx.
Vì vậy, nhằm tính được vẹn toàn hàm của hàm số sin nhì x, tao dùng công thức hạ bậc và tiến hành công việc đo lường ứng.

Để tính vẹn toàn hàm của cos^2x, tao rất có thể dùng nhì công thức thân thuộc sau:
1. Công thức hạ bậc: ∫cos^2(x)dx = ∫(1 + cos2x)/2 dx
Bằng cơ hội phân chia tử số trở thành nhì phần, tao rất có thể tính vẹn toàn hàm của từng phần riêng biệt rẽ.
∫(1 + cos2x)/2 dx = ∫(1/2 + cos2x/2) dx = (1/2)x + (sin2x)/4 + C
Với C là hằng số vô quy trình tính vẹn toàn hàm.
2. Công thức biến hóa lượng giác: ∫cos^2(x)dx = ∫1/2(1 + cos2x) dx
Ước lượng cos2x bằng phương pháp dùng công thức lượng giác cơ bạn dạng cos2x = (1 + cos(2x))/2:
∫1/2(1 + cos2x) dx = ∫1/2(1 + (1 + cos(2x))/2) dx
= ∫1/2(3/2 + cos(2x)/2) dx = (3/4)x + (sin(2x))/4 + C
Vậy tao rất có thể tính vẹn toàn hàm của cos^2x bằng phương pháp dùng công thức hạ bậc hoặc công thức biến hóa lượng giác như bên trên.

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin nón n x, tao rất có thể dùng công thức hạ bậc để mang về lần vẹn toàn hàm của hàm con số giác cơ bạn dạng.
Công thức hạ bậc: ∫sin^nx dx = ∫(1 - cos^2 x)^(n/2) dx
Đầu tiên, tao thay cho thế sin^2 x = 1 - cos^2 x vô công thức bên trên, tao được:
∫sin^nx dx = ∫(1 - cos^2 x)^(n/2) dx
Sau cơ, tao tiến hành luật lệ thay đổi biến đổi số, bịa đặt u = cos x. Khi cơ, du = -sin x dx.
Đổi biến đổi số vô công thức, tao có:
∫(1 - cos^2 x)^(n/2) dx = -∫(1 - u^2)^(n/2) du
Tiếp theo gót, tao tiến hành phân chảy trở thành tổng những phân thức phù hợp bằng phương pháp dùng lăm le lý nhân đại số:
(1 - u^2)^(n/2) = (1 - u) * (1 + u) * (1 - u^2)^(n/2 - 1)
Quá trình phân chảy tiếp tục kế tiếp cho tới Lúc chỉ từ lại những phân thức sở hữu dạng (1 - u).
Sau cơ, tao tính vẹn toàn hàm của từng phân thức bằng phương pháp dùng quy tắc tính vẹn toàn hàm cơ bạn dạng.
Cuối nằm trong, tao tính tổng những độ quý hiếm của những vẹn toàn hàm đang được tính được để sở hữu thành phẩm cộng đồng của vẹn toàn hàm của hàm số sin nón n x.
Lưu ý: Công thức bên trên chỉ vận dụng mang đến n/2 là số vẹn toàn. Trong tình huống n/2 ko nên số vẹn toàn, cần dùng luật lệ không ngừng mở rộng nhằm tính.

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của sin mặt hàng ngũ x là: ∫sin(nx)dx = -1/n * cos(nx) + C. Trong số đó, n là thông số vô biểu thức sin(nx), C là hằng số tự tại và ∫ là ký hiệu mang đến vẹn toàn hàm.

Xem thêm: Tổng hợp nguyên hàm sin bình và các bước giải đơn giản

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin căn bình x, tất cả chúng ta rất có thể vận dụng công thức tính vẹn toàn hàm của hàm con số giác cơ bạn dạng.
Theo công thức, tao có:
∫sin²xdx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx
Đặt u = 1 - cos(2x), thì du = 2sin(2x)dx
Thay thế những độ quý hiếm đang được mang đến vô, tao có:
∫sin²xdx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx
= (1/2) ∫du
= (1/2)u + C
= (1/2)(1 - cos(2x)) + C
Vậy, vẹn toàn hàm của hàm số sin căn bình x là (1/2)(1 - cos(2x)) + C, với C là hằng số.

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của hàm số sin khối x là:
∫ sin^2(x) dx = ∫ (1 - cos(2x))/2 dx
Ta phân chia nhỏ hàm số sin^2(x) trở thành (1 - cos(2x))/2 nhằm dễ dàng đo lường.
Tiếp theo gót, tao tính vẹn toàn hàm của (1 - cos(2x))/2 như sau:
Đặt t = 2x, tao sở hữu dt = 2dx.
Khi cơ, vẹn toàn hàm của (1 - cos(2x))/2 là:
(1/2) ∫ (1 - cos(t))/2 dt = (1/2) ∫ (1/2 - (1/2)cos(t)) dt
= (1/4) ∫ (1 - cos(t)) dt
= (1/4) (t - sin(t)) + C
Ở trên đây, C là hằng số tích đặc biệt (constant of integration).
Cuối nằm trong, tao thay cho lại t = 2x vô những công thức bên trên để sở hữu thành phẩm cuối cùng:
(1/4) (2x - sin(2x)) + C

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số sin bình phương x, tất cả chúng ta rất có thể dùng công thức tính vẹn toàn hàm của những nồng độ giác cơ bạn dạng.
Công thức chủ yếu nhằm tính vẹn toàn hàm của hàm sin bình phương x là:
∫ sin^2(x) dx = ∫ (1 - cos(2x))/2 dx
Chúng tao rất có thể fake về dạng này bằng phương pháp dùng công thức hạ bậc và công thức hoạn lượng giác.
Bước 1: kề dụng công thức hoạn lượng giác: sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2
Bước 2: Tính vẹn toàn hàm của đại lượng (1 - cos(2x))/2:
∫ (1 - cos(2x))/2 dx = ∫ (1/2 - cos(2x)/2) dx = (1/2)∫ dx - (1/2)∫ cos(2x) dx = x/2 - (1/2)∫ cos(2x) dx
Bước 3: Tính vẹn toàn hàm của cos(2x):
∫ cos(2x) dx = (1/2)sin(2x) + C
Với C là hằng số nằm trong.
Bước 4: Kết thích hợp những thành phẩm của bước 2 và bước 3:
∫ (1 - cos(2x))/2 dx = x/2 - (1/2)∫ cos(2x) dx = x/2 - (1/2)(1/2)sin(2x) + C = x/2 - (1/4)sin(2x) + C
Vậy, vẹn toàn hàm của hàm số sin bình phương x là x/2 - (1/4)sin(2x) + C.
Chú ý: Tại trên đây, C là hằng số nằm trong tự tại và rất có thể được lựa chọn theo gót ý ham muốn.

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của lượng giác bình phương x là:
∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx
Với việc vận dụng công thức hạ bậc, tao thay cho thế sin^2(x) bởi vì (1 - cos(2x))/2.
Để tính vẹn toàn hàm này, tao rất có thể sử dụng cách thức thay cho thế hoặc dùng công thức nằm trong hoặc trừ, tuỳ ý.

Để tính vẹn toàn hàm của cos khối x, tao rất có thể vận dụng những công thức và quy tắc tính vẹn toàn hàm. Dưới đấy là công việc cụ thể nhằm tính vẹn toàn hàm của cos khối x:
Bước 1: Xác lăm le hàm số cần thiết tính vẹn toàn hàm. Trong tình huống này, hàm số cần thiết tính vẹn toàn hàm là cos khối x.
Bước 2: Xác lăm le biến đổi số và lần công thức vẹn toàn hàm ứng với hàm số cơ. Với cos khối x, tao sở hữu công thức vẹn toàn hàm là sin khối x.
Bước 3: Ghi công thức vẹn toàn hàm này lại. Với hàm số cos khối x, vẹn toàn hàm của chính nó là sin khối x.
Bước 4 (tuỳ chọn): Kiểm tra thành phẩm bằng phương pháp lấy đạo hàm của vẹn toàn hàm một vừa hai phải tính. Nếu đạo hàm của vẹn toàn hàm cơ bởi vì hàm số gốc, tức là cos khối x, thì thành phẩm đo lường là đúng đắn.
Ví dụ: Để tính vẹn toàn hàm của cos khối x, tao sở hữu thành phẩm là sin khối x.
Nguyên hàm của cos khối x là sin khối x (C).
Lưu ý: Việc đo lường vẹn toàn hàm rất có thể phức tạp rộng lớn so với những hàm số phức tạp rộng lớn. Hoặc vô một vài tình huống, rất có thể ko thể lần ra sức thức vẹn toàn hàm cho 1 hàm số ví dụ. Trong tình huống này, tao rất có thể dùng những cách thức khác ví như tích phân số học tập nhằm tính sấp xỉ vẹn toàn hàm của hàm số cơ.

Xem thêm: Tính chất hóa học của Metan CH4 | Tính chất vật lí, nhận biết, điều chế, ứng dụng.

Công thức được dùng nhằm tính vẹn toàn hàm của hàm số cos bình x là:
∫ (cos^2 x) dx = ∫ (1 + cos(2x))/2 dx
Bước thứ nhất, tất cả chúng ta dùng công thức phân chia mảng tưng bức nhằm phân chảy hàm số cos bình x trở thành những bộ phận tương tự rộng lớn. Ta tiếp tục dùng công thức sau đây:
cos^2 x = (1 + cos(2x))/2
Sau cơ, tao tính vẹn toàn hàm của từng trở thành phần:
∫ (1 + cos(2x))/2 dx = (1/2) ∫ 1 dx + (1/2) ∫ cos(2x) dx
Đối với bộ phận thứ nhất, tao có:
∫ 1 dx = x + C1
Đối với bộ phận loại nhì, tao dùng quy tắc tính vẹn toàn hàm của cosine:
∫ cos(2x) dx = (1/2) sin(2x) + C2
Cuối nằm trong, tao phối hợp nhì bộ phận lại nhằm tính vẹn toàn hàm cuối cùng:
∫ (1 + cos(2x))/2 dx = (1/2) (x + C1) + (1/4) sin(2x) + C2
Vậy, vẹn toàn hàm của hàm số cos bình x là:
(1/2) (x + C1) + (1/4) sin(2x) + C2

Để tính vẹn toàn hàm của hàm số cos nón n x, tao rất có thể dùng công thức hạ bậc hoặc công thức đặc biệt quan trọng. Dưới đấy là phương pháp tính chi tiết:
Cách 1: Sử dụng công thức hạ bậc
- Trường thích hợp n không giống 0:
+ Ta bịa đặt u = cosⁿx và dv = d(x).
+ Tính đạo hàm của u và tích phân của dv nhằm lần du và v.
+ kề dụng công thức tích phân theo gót thành phần nhằm tính vẹn toàn hàm:
∫cosⁿxdx = cosⁿ₋¹x.sinx/ⁿ+(ⁿ⁻¹/ⁿ)∫cosⁿ₋²x.dx
+ Sử dụng công thức bên trên tái diễn mang đến ∫cosⁿ₋²x.dx nhằm tính tiếp vẹn toàn hàm mang đến cosⁿ₋²x và kế tiếp cho tới Lúc tao tính được vẹn toàn hàm của hàm số lúc đầu.
- Trường thích hợp n = 0:
+ Ta sở hữu cos⁰x = 1, vì thế đó:
∫1.dx = x + C
Cách 2: Sử dụng công thức quánh biệt
- Dùng công thức tổng quát:
∫cosⁿx.dx = (∫cosx.dx) / (∫cos²x.dx)
Trong đó:
+ ∫cosx.dx = sinx + C₁
+ ∫cos²x.dx = ∫(1 + cos2x)/2.dx = ∫(1/2).dx + (∫(cos2x)/2.dx)
= (1/2)x + (1/4)sin2x + C₂
- Kết thích hợp nhì công thức bên trên, tao tính được vẹn toàn hàm của hàm số lúc đầu.
Các công thức bên trên đơn thuần một vài cách thức tính vẹn toàn hàm của hàm số cos nón n x. Còn tùy thuộc vào độ quý hiếm của n và từng tình huống ví dụ, rất có thể vận dụng những công thức không giống nhằm tính vẹn toàn hàm.