Công thức cấp số nhân nâng cao | Lý thuyết + bài tập ví dụ

Công thức cấp cho số nhân: công thức tính cấp cho số nhân, công thức tính tổng cấp số nhân, tổng của cấp cho số nhân, tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn…
công thức cấp cho số nhân

Định nghĩa cấp cho số nhân

Dãy số (un) được xác lập tự \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}  gọi là cấp cho số cộng; q gọi là công bội.

Bạn đang xem: Công thức cấp số nhân nâng cao | Lý thuyết + bài tập ví dụ

\bullet  Số hạng loại n được mang đến tự công thức: {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}.

\bullet Ba số hạng {u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}} là tía số hạng tiếp tục của cấp cho số nằm trong khi và chỉ khi u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}.

\bullet Tổng n số hạng thứ nhất {S_n} được xác lập tự công thức :

{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}.

Công bội q của cấp cho số nhân

Công bội q của cấp cho số nhân (u_{1}) được xem tự công thức:

q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}

Ví dụ: Cho cấp cho số nhân (u_{n}) sở hữu (u_{1}) =2 , (u_{2}) = 4. Tính công bội q.

Lời giải: kề dụng công thức tính công bội q tớ có:

q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{4}{2}=2

Số hạng tổng quát lác của cấp cho số nhân

Nếu cấp cho số nhân sở hữu số hạng đầu (u_{1}) và công bội q thì số hạng tổng quát lác (u_{n}) được xem tự công thức:

u_{n}=u_{1}.q^{n-1}ới n\geq 2

Ví dụ: Cho cấp cho số nhân (u_{n}) với (u_{1}) = 3, q=\frac{-1}{2}. Tính (u_{7})

Lời giải: u_{7}=u_{1}.q^{7-1}=3.(\frac{-1}{2})^{6} = \frac{3}{64}

Tổng n số hạng đầu tiên

S_{n} = u_{1} + u_{2} + … + u_{n} = u_{1}\frac{1 - q^{n}}{1 - q} (q\neq 1)

Nếu q = 1 thì cấp cho số nhân là S_{n} = n.u_{1}

Ví dụ: Cho cấp cho số nhân (u_{n}) biết (u_{1}) = 2, (u_{3}) = 18. Tính tổng của 10 số hạng thứ nhất.

Lời giải: Ta sở hữu u_{3}=q^{2}.u_{1}=2.q^{2}=18

Suy rời khỏi q = 3 hoặc q= -3

Với q =3 tớ sở hữu S_{10}=\frac{10_{1}(1-3^10)}{1-3} = 59048

Với q=-3 tớ sở hữu S_{10}=\frac{10_{1}(1-3^10)}{1+3} = -29524

Cấp số nhân lùi vô hạn

(u_{n}) sở hữu công bội q, |q|<1 được gọi là cấp cho số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ: \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16},… là một trong những cấp cho số nhân lùi vô hạn với công bội q=\frac{1}{2}

Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn

Cho cấp cho số nhân lùi vô hạn (u_{n}) sở hữu công bội q. Khi cơ tớ sở hữu tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn S bằng:

S=\frac{u_{1}}{1-q} với |q| < 1

Ví dụ: Tính tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn (u_{n}) với u_{n}=\frac{1}{3^{n}}

Lời giải: Ta sở hữu u_{1}=\frac{1}{3}, u_{2}=\frac{1}{9}.

Suy rời khỏi q=\frac{1}{3}.

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn tớ có:

S=\frac{u_{1}}{1-q}

S=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}

Bài luyện minh họa cấp cho số nhân

Vấn đề 1: Xác tấp tểnh cấp cho số và xác nguyên tố của cấp cho số nhân

Phương pháp:

\bullet Dãy số ({u_n}) là một trong những cấp cho số nhân \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q ko tùy thuộc vào n và q là công bội.

\bullet Ba số a,b,c theo đuổi trật tự cơ lập trở thành cấp cho số nhân \Leftrightarrow ac = {b^2}.

\bullet Để xác lập một cấp cho số nhân, tớ cần thiết xác lập số hạng đầu và công bội. Do cơ, tớ thông thường biểu diễn thuyết thiết của vấn đề qua chuyện {u_1}q.

Ví dụ 1:

Cho cấp cho số nhân (un) sở hữu những số hạng không giống ko, dò thám {u_1} biết:

Xem thêm: Cách tính nửa chu vi hình chữ nhật có ví dụ trực quan dễ hiểu - IMO2007

a) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.

b) \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.

Hướng dẫn:

a) Ta có: \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.

\Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.

Từ cơ tớ tìm kiếm được {u_1} = 1,{u_1} = 8.

b) Ta có: \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.

\Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3}.

Ví dụ 2:

Cho cấp cho số nhân ({u_n}) thỏa: \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right..

a) Viết năm số hạng đầu của cấp cho số.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp cho số.

c) Số \frac{2}{{6561}} là số hạng loại từng nào của cấp cho số?

Hướng dẫn:

Gọi q là công bội của cấp cho số. Theo fake thiết tớ có:

\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.

a) Năm số hạng đầu của cấp cho số là:{u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}.

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp cho số

{S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}} = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}.

c) Ta có: {u_n} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9

Vậy \frac{2}{{6561}} là số hạng loại 9 của cấp cho số.

Vấn đề 3: Tìm ĐK nhằm mặt hàng số lập trở thành cấp cho số nhân

Phương pháp: a,b,c theo đuổi trật tự cơ lập trở thành CSN \Leftrightarrow ac = {b^2}.

Ví dụ 1: Tìm x biết 1,{x^2},6 - {x^2} lập trở thành cấp cho số nhân.

Hướng dẫn:

Ta có: 1,{x^2},6 - {x^2} lập trở thành cấp cho số nhân  \Leftrightarrow {x^4} = 6 - {x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 .

Ví dụ 2: Tìm x,y biết:

a) Các số x + 5y,5x + 2y,8x + y lập trở thành cấp cho số cộng  và  những số

{\left( {y - 1} \right)^2},xy - 1,{\left( {x + 1} \right)^2} lập trở thành cấp cho số nhân.

b) Các số x + 6y,5x + 2y,8x + y lập trở thành cấp cho số nằm trong và những số x + \frac{5}{3}y,hắn - 1,2x - 3y lập trở thành cấp cho số nhân.

Hướng dẫn:

a) Ta sở hữu hệ: \left\{ \begin{array}{l}x + 5y + 8x + hắn = 2(5x + 2y)\\{(x + 1)^2}{(y - 1)^2} = {(xy - 1)^2}\end{array} \right. giải hệ này tớ dò thám được

(x;y) = \left( { - \sqrt 3 ; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).

b) Ta sở hữu hệ: \left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + hắn = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x - 3y) = {(y - 1)^2}\end{array} \right. giải hệ này tớ dò thám được

(x;y) = \left( { - 3; - 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right).

Xem thêm: Lý thuyết hình vuông | SGK Toán lớp 8

Mời chúng ta coi tăng video clip bài bác giảng về “Cấp số nhân”:

Trên đó là nội dung bài viết công thức cấp cho số nhân, chúc chúng ta thực hiện bài bác tốt!

BÀI VIẾT NỔI BẬT


Danh sách những hot girl Trung Quốc xinh đẹp nhất

Khám phá bức tranh tuyệt vời với hình ảnh của những hot girl Trung Quốc đẹp nhất. Với dân số đông nhất thế giới, Trung Quốc là quê hương của nhiều hot girl nổi tiếng. Nếu bạn là fan hâm mộ, những hình ảnh này chắc chắn sẽ làm cho trái tim bạn đắm đuối. Hãy cùng nhau chiêm ngưỡng!

Tìm hiểu về nguyên hàm của sin bình x trong toán học

Chủ đề nguyên hàm của sin bình x Nguyên hàm của sin bình x là một khái niệm quan trọng trong toán học. Bằng cách sử dụng các công thức hạ bậc và các quy tắc tích phân, chúng ta có thể tính được giá trị của nguyên hàm này. Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hàm số sin và áp dụng nó trong các bài toán tính toán.