Công thức cấp cho số nhân: công thức tính cấp cho số nhân, công thức tính tổng cấp số nhân, tổng của cấp cho số nhân, tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn…
![công thức cấp cho số nhân](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI2OTYiIGhlaWdodD0iMjAwIiB2aWV3Qm94PSIwIDAgNjk2IDIwMCI+PHJlY3Qgd2lkdGg9IjEwMCUiIGhlaWdodD0iMTAwJSIgZmlsbD0iI2NmZDRkYiIvPjwvc3ZnPg==)
Định nghĩa cấp cho số nhân
Dãy số (un) được xác lập tự
gọi là cấp cho số cộng;
gọi là công bội.
Bạn đang xem: Công thức cấp số nhân nâng cao | Lý thuyết + bài tập ví dụ
Số hạng loại n được mang đến tự công thức:
.
Ba số hạng
là tía số hạng tiếp tục của cấp cho số nằm trong khi và chỉ khi
.
Tổng
số hạng thứ nhất
được xác lập tự công thức :
.
Công bội q của cấp cho số nhân
Công bội q của cấp cho số nhân
được xem tự công thức:
![Rendered by QuickLaTeX.com q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI2NiIgaGVpZ2h0PSIyMyIgdmlld0JveD0iMCAwIDY2IDIzIj48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBmaWxsPSIjY2ZkNGRiIi8+PC9zdmc+)
Ví dụ: Cho cấp cho số nhân
sở hữu
=2 ,
= 4. Tính công bội q.
Lời giải: kề dụng công thức tính công bội q tớ có:
![Rendered by QuickLaTeX.com q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{4}{2}=2](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIxMTciIGhlaWdodD0iMjUiIHZpZXdCb3g9IjAgMCAxMTcgMjUiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
Số hạng tổng quát lác của cấp cho số nhân
Nếu cấp cho số nhân sở hữu số hạng đầu
và công bội q thì số hạng tổng quát lác
được xem tự công thức:
ới ![Rendered by QuickLaTeX.com n\geq 2](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI0MiIgaGVpZ2h0PSIxNSIgdmlld0JveD0iMCAwIDQyIDE1Ij48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBmaWxsPSIjY2ZkNGRiIi8+PC9zdmc+)
Ví dụ: Cho cấp cho số nhân
với
= 3,
. Tính ![Rendered by QuickLaTeX.com (u_{7})](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIzMCIgaGVpZ2h0PSIxOCIgdmlld0JveD0iMCAwIDMwIDE4Ij48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBmaWxsPSIjY2ZkNGRiIi8+PC9zdmc+)
Lời giải:
=3.
= ![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{3}{64}](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIxNCIgaGVpZ2h0PSIyMiIgdmlld0JveD0iMCAwIDE0IDIyIj48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBmaWxsPSIjY2ZkNGRiIi8+PC9zdmc+)
Tổng n số hạng đầu tiên
![Rendered by QuickLaTeX.com S_{n} = u_{1} + u_{2} + … + u_{n} = u_{1}\frac{1 - q^{n}}{1 - q} (q\neq 1)](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIyOTYiIGhlaWdodD0iMjYiIHZpZXdCb3g9IjAgMCAyOTYgMjYiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
Nếu q = 1 thì cấp cho số nhân là ![Rendered by QuickLaTeX.com S_{n} = n.u_{1}](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI3NiIgaGVpZ2h0PSIxNiIgdmlld0JveD0iMCAwIDc2IDE2Ij48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBmaWxsPSIjY2ZkNGRiIi8+PC9zdmc+)
Ví dụ: Cho cấp cho số nhân
biết
= 2,
= 18. Tính tổng của 10 số hạng thứ nhất.
Lời giải: Ta sở hữu ![Rendered by QuickLaTeX.com u_{3}=q^{2}.u_{1}=2.q^{2}=18](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIxNzYiIGhlaWdodD0iMTkiIHZpZXdCb3g9IjAgMCAxNzYgMTkiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
Suy rời khỏi q = 3 hoặc q= -3
Với q =3 tớ sở hữu
= 59048
Với q=-3 tớ sở hữu
= -29524
Cấp số nhân lùi vô hạn
sở hữu công bội q, |q|<1 được gọi là cấp cho số nhân lùi vô hạn.
Ví dụ:
,… là một trong những cấp cho số nhân lùi vô hạn với công bội ![Rendered by QuickLaTeX.com q=\frac{1}{2}](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI0MSIgaGVpZ2h0PSIyMiIgdmlld0JveD0iMCAwIDQxIDIyIj48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBmaWxsPSIjY2ZkNGRiIi8+PC9zdmc+)
Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn
Cho cấp cho số nhân lùi vô hạn
sở hữu công bội q. Khi cơ tớ sở hữu tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn S bằng:
với |q| < 1
Ví dụ: Tính tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn
với ![Rendered by QuickLaTeX.com u_{n}=\frac{1}{3^{n}}](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI2MSIgaGVpZ2h0PSIyMiIgdmlld0JveD0iMCAwIDYxIDIyIj48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBmaWxsPSIjY2ZkNGRiIi8+PC9zdmc+)
Lời giải: Ta sở hữu
,
.
Suy rời khỏi
.
Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn tớ có:
![Rendered by QuickLaTeX.com S=\frac{u_{1}}{1-q}](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI2MiIgaGVpZ2h0PSIyMiIgdmlld0JveD0iMCAwIDYyIDIyIj48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBmaWxsPSIjY2ZkNGRiIi8+PC9zdmc+)
![Rendered by QuickLaTeX.com S=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI5OSIgaGVpZ2h0PSIzNSIgdmlld0JveD0iMCAwIDk5IDM1Ij48cmVjdCB3aWR0aD0iMTAwJSIgaGVpZ2h0PSIxMDAlIiBmaWxsPSIjY2ZkNGRiIi8+PC9zdmc+)
Bài luyện minh họa cấp cho số nhân
Vấn đề 1: Xác tấp tểnh cấp cho số và xác nguyên tố của cấp cho số nhân
Phương pháp:
Dãy số
là một trong những cấp cho số nhân
ko tùy thuộc vào n và
là công bội.
Ba số
theo đuổi trật tự cơ lập trở thành cấp cho số nhân
.
Để xác lập một cấp cho số nhân, tớ cần thiết xác lập số hạng đầu và công bội. Do cơ, tớ thông thường biểu diễn thuyết thiết của vấn đề qua chuyện
và
.
Ví dụ 1:
Cho cấp cho số nhân (un) sở hữu những số hạng không giống ko, dò thám
biết:
Xem thêm: Những bí quyết lớn chu vi hình tròn để tối ưu không gian
a) ![Rendered by QuickLaTeX.com \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIxOTYiIGhlaWdodD0iNDMiIHZpZXdCb3g9IjAgMCAxOTYgNDMiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
b) ![Rendered by QuickLaTeX.com \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIyMzYiIGhlaWdodD0iNDQiIHZpZXdCb3g9IjAgMCAyMzYgNDQiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
Hướng dẫn:
a) Ta có: ![Rendered by QuickLaTeX.com \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIzNzQiIGhlaWdodD0iNTYiIHZpZXdCb3g9IjAgMCAzNzQgNTYiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
![Rendered by QuickLaTeX.com \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI0MjIiIGhlaWdodD0iNDMiIHZpZXdCb3g9IjAgMCA0MjIgNDMiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
Từ cơ tớ tìm kiếm được
.
b) Ta có: ![Rendered by QuickLaTeX.com \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI0NjYiIGhlaWdodD0iNDUiIHZpZXdCb3g9IjAgMCA0NjYgNDUiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
.
Ví dụ 2:
Cho cấp cho số nhân
thỏa:
.
a) Viết năm số hạng đầu của cấp cho số.
b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp cho số.
c) Số
là số hạng loại từng nào của cấp cho số?
Hướng dẫn:
Gọi
là công bội của cấp cho số. Theo fake thiết tớ có:
![Rendered by QuickLaTeX.com \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIzODYiIGhlaWdodD0iNDQiIHZpZXdCb3g9IjAgMCAzODYgNDQiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
a) Năm số hạng đầu của cấp cho số là:
.
b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp cho số
.
c) Ta có: ![Rendered by QuickLaTeX.com {u_n} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSI0MTMiIGhlaWdodD0iMjMiIHZpZXdCb3g9IjAgMCA0MTMgMjMiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
Vậy
là số hạng loại 9 của cấp cho số.
Vấn đề 3: Tìm ĐK nhằm mặt hàng số lập trở thành cấp cho số nhân
Phương pháp:
theo đuổi trật tự cơ lập trở thành CSN
.
Ví dụ 1: Tìm
biết
lập trở thành cấp cho số nhân.
Hướng dẫn:
Ta có:
lập trở thành cấp cho số nhân ![Rendered by QuickLaTeX.com \Leftrightarrow {x^4} = 6 - {x^2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 .](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciIHdpZHRoPSIyMTUiIGhlaWdodD0iMTgiIHZpZXdCb3g9IjAgMCAyMTUgMTgiPjxyZWN0IHdpZHRoPSIxMDAlIiBoZWlnaHQ9IjEwMCUiIGZpbGw9IiNjZmQ0ZGIiLz48L3N2Zz4=)
Ví dụ 2: Tìm
biết:
a) Các số
lập trở thành cấp cho số cộng và những số
lập trở thành cấp cho số nhân.
b) Các số
lập trở thành cấp cho số nằm trong và những số
lập trở thành cấp cho số nhân.
Hướng dẫn:
a) Ta sở hữu hệ:
giải hệ này tớ dò thám được
.
b) Ta sở hữu hệ:
giải hệ này tớ dò thám được
.
Xem thêm: Lý thuyết và hướng dẫn giải bài tập về Góc ở tâm. Số đo cung - HOCMAI
Mời chúng ta coi tăng video clip bài bác giảng về “Cấp số nhân”:
Trên đó là nội dung bài viết công thức cấp cho số nhân, chúc chúng ta thực hiện bài bác tốt!