Những tứ giác lồi được giải thích cặn kẽ và ví dụ minh họa

Tứ giác là 1 trong những hình bao gồm tư đỉnh và tư cạnh. Nếu những cạnh và đỉnh của tứ giác đều phía trên một phía phẳng phiu, thì này đó là tứ giác phẳng phiu. Tuy nhiên, tứ giác phẳng phiu ko nên là tứ giác lồi hoặc tứ giác lõm.
Tứ giác lồi là tứ giác sở hữu toàn bộ những góc ở trong tầm kể từ 0 chừng cho tới 180 chừng. Nó rất có thể được khái niệm là tứ giác luôn luôn ở gọn gàng nhập 50% mặt mũi phẳng phiu sở hữu bờ chứa chấp ngẫu nhiên cạnh nào là nó. Trong tứ giác lồi, đàng chéo cánh hạn chế nhau phía bên trong tứ giác.
Tức là, đàng chéo cánh của tứ giác lồi ko hạn chế đàng bao của tứ giác ở bên phía ngoài.
Ngược lại, nhập tứ giác lõm, sở hữu tối thiểu một góc to hơn 180 chừng. Nó rất có thể được khái niệm là tứ giác sở hữu tối thiểu một khu vực lõm nhập đàng bao tứ giác, tức thị khi chúng ta kéo đường thẳng liền mạch nối nhì đỉnh phía bên trong, đoạn trực tiếp rất có thể hạn chế đàng bao tứ giác ở bên phía ngoài.
Vì vậy, tứ giác lồi và tứ giác lõm không giống nhau về con số góc nhọn sở hữu nhập hình, và cả đàng chéo cánh của chính nó.

Bạn đang xem: Những tứ giác lồi được giải thích cặn kẽ và ví dụ minh họa

Tứ giác lồi là 1 trong những hình học tập được khái niệm là tứ giác nhưng mà toàn bộ những đỉnh của chính nó đều ở trong 50% mặt mũi phẳng phiu được lý thuyết vày ngẫu nhiên cạnh nào là của tứ giác ê. Dưới đấy là một số trong những đặc điểm của tứ giác lồi:
1. Tổng chừng lâu năm hai tuyến phố chéo cánh vày nhau: Đường chéo cánh đó là đàng nối nhì đỉnh đối lập của tứ giác. Trong tứ giác lồi, tổng chừng lâu năm hai tuyến phố chéo cánh đều nhau.
2. Tổng chừng lâu năm nhì cặp đối lập là vày nhau: Tứ giác lồi sở hữu nhì cặp cạnh đối lập tuy vậy song nhau. Tổng chừng lâu năm của nhì cặp đối lập là đều nhau.
3. Tổng chừng lâu năm nhì cạnh đối lập to hơn tổng chừng lâu năm nhì cạnh kề: Trong tứ giác lồi, tổng chừng lâu năm nhì cạnh đối lập to hơn tổng chừng lâu năm nhì cạnh kề.
4. Tính hóa học đối xứng: Nửa đàng chéo cánh chứa chấp nhập tứ giác lồi là trục đối xứng của chính nó. Vấn đề này tức là khi vẽ đường thẳng liền mạch tuy vậy song với nửa đàng chéo cánh và qua quýt những đỉnh còn sót lại của tứ giác, những thành phần đối xứng của tứ giác lồi được tạo nên.
5. Góc nội mặt mũi của tứ giác lồi luôn luôn nhỏ rộng lớn 180 độ: Bởi vì thế tứ giác lồi ở trong 50% mặt mũi phẳng phiu, những góc nội mặt mũi của chính nó luôn luôn nhỏ rộng lớn 180 chừng.
Chú ý rằng phía trên đơn thuần một số trong những đặc điểm cơ bạn dạng của tứ giác lồi, và rất có thể đạt thêm nhiều đặc điểm không giống tùy nằm trong vào cụ thể từng tình huống rõ ràng.

Để xác lập một tứ giác liệu có phải là tứ giác lồi hay là không, tao rất có thể tiến hành công việc sau đây:
1. Vẽ tứ giác ê trên giấy tờ.
2. Vẽ những đường thẳng liền mạch nối những đỉnh của tứ giác.
3. Kiểm tra coi những đường thẳng liền mạch nối những đỉnh của tứ giác sở hữu hạn chế nhau phía bên trong tứ giác hay là không. Nếu không tồn tại đường thẳng liền mạch nào là hạn chế phía bên trong tứ giác, tứ giác này đó là tứ giác lồi.
4. Nếu sở hữu tối thiểu một đường thẳng liền mạch nối những đỉnh bị hạn chế phía bên trong tứ giác, tứ giác này đó là tứ giác lõm, ko nên tứ giác lồi.

Trong tứ giác lồi, những đàng chéo cánh hạn chế nhau bên trên một điểm độc nhất, được gọi là vấn đề hạn chế của đàng chéo cánh. Điểm này được ký hiệu là O. Nó là trung điểm của hai tuyến phố chéo cánh và là tâm của đàng tròn xoe nội tiếp của tứ giác.

Công thức tính diện tích S tứ giác lồi là:
S = ½ × đàng chéo cánh AC × đàng chéo cánh BD × sin(độ chếch thân thích 2 đàng chéo)
Trong ê AC và BD là hai tuyến phố chéo cánh của tứ giác lồi và chừng chếch thân thích 2 đàng chéo cánh là góc thân thích hai tuyến phố chéo cánh được xem theo dõi đặc điểm của những góc đối lập nhập tứ giác.
Lưu ý rằng với một số trong những loại tứ giác quan trọng như tứ giác vuông hoặc tứ giác vày cạnh, công thức tính diện tích S sẽ tiến hành đơn giản và giản dị rộng lớn.

Xem thêm: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)={sin^2}x

Để tính chu vi của một tứ giác lồi lúc biết chừng lâu năm những cạnh, tao rất có thể vận dụng công thức:
Chu vi tứ giác lồi = cạnh 1 + cạnh 2 + cạnh 3 + cạnh 4
Ví dụ: Nếu chừng lâu năm những cạnh của một tứ giác lồi theo lần lượt là 5cm, 8cm, 6cm và 10cm, tao rất có thể tính chu vi của chính nó như sau:
Chu vi tứ giác lồi = 5cm + 8cm + 6cm + 10cm = 29cm
Do ê, chu vi của tứ giác lồi này là 29cm.

Tứ giác lồi sở hữu 4 trung tâm:
1. Trung tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp: là trung điểm của đàng chéo cánh AB và CD.
2. Trung tâm đàng tròn xoe nội tiếp: là giao phó điểm của hai tuyến phố phân giác của những góc nhập của tứ giác.
3. Trung tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp đồng tâm: là trung điểm của hai tuyến phố tròn xoe nước ngoài tiếp của nhì tam giác ABC và CDA.
4. Trung tâm đàng tròn xoe nội tiếp đồng tâm: là giao phó điểm của những đàng phân giác của những góc ngoài của tứ giác.

Ta sở hữu đề bài bác cho biết thêm tứ giác ABCD là tứ giác lồi, tức là ở gọn gàng nhập 50% mặt mũi phẳng phiu sở hữu bờ chứa chấp ngẫu nhiên cạnh nào là của tứ giác ê.
Gọi O là giao phó điểm của đàng chéo cánh AC với BD.
Vì tứ giác ABCD là tứ giác lồi nên góc AOB ở trong 50% mặt mũi phẳng phiu chứa chấp những cạnh AB, BC và CD của tứ giác ê.
Theo đề bài bác, tao sở hữu AB = CD. Vì vậy tam giác ABC và tam giác CDA là nhì tam giác đồng dạng.
Do ê, tao có:
$\\frac{AC}{AD} = \\frac{BC}{AB} = \\frac{BC}{CD}$
$\\Rightarrow AC \\cdot CD = AD \\cdot BC$
Chia cả nhì vế của phương trình với AC \\cdot BD, tao được:
$\\frac{CD}{BD} = \\frac{AD}{AC}$
$\\Rightarrow \\Delta ABC \\sim \\Delta CDA$
$\\Rightarrow \\angle CAB = \\angle ACD$
Do ê, tao có:
$\\angle BAC = \\angle CAB - \\angle CBA = \\angle ACD - \\angle CBA$
Vì tứ giác ABCD là tứ giác lồi nên tao có:
$\\angle ACD + \\angle CBA 180^\\circ$
$\\Rightarrow \\angle BAC \\angle ACD$
Vậy:
$\\angle BAC = \\angle ACD - \\angle CBA \\angle ACD$
Ta ko biết giá tốt trị của $\\angle ACD$. Vì vậy ko thể tìm kiếm ra độ quý hiếm đúng chuẩn của $\\angle BAC$ chỉ vày vấn đề đề cho tới. Ta nên biết thêm thắt vấn đề về độ quý hiếm góc nào là không giống hoặc nên biết thêm thắt một số trong những tài liệu mới mẻ nhằm đo lường giá tốt trị của $\\angle BAC$.

Xem thêm: So sánh camera iPhone 14 Pro Max và iPhone 13 Pro Max

Gọi S là diện tích S tứ giác lồi ABCD, S1 là diện tích S tam giác AOB và S2 là diện tích S tam giác COD.
Vì tứ giác ABCD là tứ giác lồi, nên tao có:
- Diện tích tứ giác ABCD vày tổng diện tích S nhì tam giác AOB và COD:
S = S1 + S2
- Tam giác AOB và COD sở hữu cộng đồng đàng cao BO:
H = BO sin(BOC)
- Hai tam giác AOC và BOD đồng dạng với tỷ số đồng dạng:
AO/CO = BO/DO
Vậy:
S1/S2 = (AO/CO)^2 = (BO/DO)^2
Suy ra:
S1/S2 = BO^2/DO^2
Mà tao cũng có:
BO/DO = BO/OO\'/DO\' = AC/BD (vì O là giao phó điểm của hai tuyến phố chéo cánh AC và BD, OO\' là đàng cao của tam giác BOC, và CO\' = DO\')
Vậy:
S1/S2 = (AC/BD)^2
Cộng lại với biểu thức thứ nhất, tao có:
S = S1 + S2 = S1(1 + (AC/BD)^2)
Vậy:
S1/S = 1/(1+(AC/BD)^2)
Do ê, tỉ số diện tích S tam giác AOB đối với tam giác COD bằng:
S1/S2 = 1/(1+(AC/BD)^2)

Giả sử đàng trung trực của cạnh AB là tia phân giác góc \\(\\angle A\\) và cạnh CD là tia phân giác góc \\(\\angle C\\). Từ ê tao có:
\\(\\angle AED = \\angle CED\\) (do AE và CD là nhì cạnh đối lập của tứ giác AECD, nên bọn chúng vày nhau)
\\(\\angle BEA = \\angle DEA \\) (do AB và DE là nhì cạnh liên tục của tam giác AED, nên bọn chúng vày nhau)
\\(\\angle CED = \\angle BEC\\) (do CD và BE là nhì cạnh liên tục của tam giác CEB, nên bọn chúng vày nhau)
Do đó:
\\(\\angle AEB = \\angle BED + \\angle BEA = \\angle CED + \\angle DEA = \\angle AED\\)
Từ ê suy đi ra tứ giác AECD là tứ giác đồng hóa học (có nhì cặp góc đối tuy vậy vày nhau).