Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Trong lịch trình toán 8 liên kết trí thức, chân mây phát minh, cánh diều những em sẽ tiến hành học tập những kỹ năng và kiến thức về đặc điểm đàng phân giác của tam giác. Bài viết lách tiếp sau đây tiếp tục tổ hợp kỹ năng và kiến thức những em cần thiết tóm vô bài bác đặc điểm đàng phân giác của tam giác lớp 8. Mời những em nằm trong theo dõi dõi.

1. Tính hóa học đàng phân giác của tam giác

- Định lý: Trong một tam giác, đàng phân giác cảu một góc phân tách cạnh đối lập trở thành nhị đoạn trực tiếp tỉ trọng với nhị cạnh kề với nhị đoạn ấy.

Bạn đang xem: Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

- Chứng minh quyết định lý:

Vẽ đường thẳng liền mạch qua chuyện B tuy vậy song với AD và hạn chế AC bên trên điểm E như hình vẽ.

Theo fake thiết tao với AD là đàng phân giác của $\large \widehat{BAD}$

=> $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$

Ta với BE // AD => $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$ ( nhị góc ví le trong) và $\large \widehat{A_{2}}=\widehat{E}$ (hai góc đồng vị)

=> $\large \widehat{B_{1}}=\widehat{E}$ => $\large \Delta AEB$ cân bên trên A.

=> AE = AB (1)

Áp dụng quyết định lý thales vào $\large \Delta CEB$ , tao có:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}(2)$

Từ (1) và (2) => $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}(dpcm)$

- Chú ý: Trong $\large \Delta$ ABC, nếu như D là vấn đề nằm trong đoạn BC và thỏa mãn $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ thì AD là đàng phân giác của góc A.

2. Các dạng bài bác về đặc điểm đàng phân giác của tam giác

2.1 Dạng bài bác tính phỏng lâu năm cạnh, diện tích S, chu vi

Cách làm: sát dụng đặc điểm đàng phân giác của tam giác, những tỉ trọng thức, quyết định lý thales, quyết định lý pytago để đổi khác và đo lường và tính toán.

Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ có AB = 5cm, CA = 6cm, BC = 7cm. AE là tia phân giác của $\large \widehat{A}$ . Hãy tính đoạn EC, EB.

Lời giải: sát dụng đặc điểm của đàng phân giác trong $\large \Delta ABC$ và đặc điểm của sản phẩm tỉ số cân nhau tao có:

$\large \frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$

$\large \Rightarrow \frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}\Rightarrow EB=\frac{35}{11}(cm);EC=\frac{42}{11}(cm)$

2.2 Dạng bài bác tính tỉ số phỏng lâu năm, tỉ số diện tích

- Phươn pháp giải: sát dụng đặc điểm đàng phân giác vô tam giác và lập tỉ trọng thức trong những đoạn trực tiếp. sát dụng kỹ năng đại số hóa hình học tập, công thức và thành quả chiếm được kể từ công thức tính diện tích S tam giác.

- Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ và những đàng phân giác BD và CE. Biết $\large \frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}; \frac{EA}{EB}=\frac{5}{6}$

Hãy tính những cạnh của $\large \Delta ABC$ , biết $\large \Delta ABC$ có chi vi là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng đặc điểm của những đàng phân giác BD và CE vào $\large \Delta ABC$ ta có:

$\large \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=4t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.(t > 0)$

$\large \frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AC=5t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.$

Lại với chu vi của $\large \Delta ABC$ là 45 centimet, tao có:

AB + BC + CA = 45 = 4t + 6t + 5t = 15t

=> t = 3

Vậy AB = 12cm; BC = 18cm ; CA = 15cm.

>> Xem thêm: Tổng ăn ý kỹ năng và kiến thức toán 8 cụ thể SGK mới

3. Bài tập dượt đặc điểm đàng phân giác của tam giác toán 8 lịch trình mới

3.1 Bài tập dượt đặc điểm đàng phân giác của tam giác toán 8 liên kết tri thức

Bài 4.10 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Trong Hình 4.24 có $\large \widehat{NPH}=\widehat{MPH}$ nên PH là tia phân giác của $\large \widehat{NPM}$

Áp dụng đặc điểm đàng phân giác của tam giác, tao có:

$\large \frac{MP}{NP}=\frac{MH}{NH}\Leftrightarrow \frac{5}{x}=\frac{3}{5,1}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.5,1}{3}=8,5$

Bài 4.11 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài bác, đàng phân giác vô của góc A hạn chế BC bên trên D nên AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

Áp dụng đặc điểm đàng phân giác của tam giác, tao có:

$\large \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Leftrightarrow \frac{4,5}{7}=\frac{DB}{DC} \Leftrightarrow \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}$

Áp dụng đặc điểm sản phẩm tỉ số cân nhau, tao có:

$\large \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}\Leftrightarrow \frac{DB+DC}{4,5+7}=\frac{BC}{11,5}=\frac{3,5}{11,5}=\frac{7}{23}$

$\large \Rightarrow DC=\frac{7.7}{23}=\frac{49}{23}\approx 2,1(m)$

Bài 4.12 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài bác, ABCD là hình vuông vắn nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ .

Vì M là trung điểm của AB

$\large \Rightarrow AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$

Vì AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ hoặc AI là tia phân giác của $\large \widehat{MAD}$ , vận dụng đặc điểm đàng phân giác vô $\large \Delta$ ADM, tao có:

$\large \frac{AM}{AD}=\frac{IM}{ID}=\frac{1}{2}\Rightarrow ID=2IM$

Ta với I là vấn đề bắt gặp nhau nên Mai theo dõi quãng đàng XiaoMI còn Dung theo dõi quãng đàng DI.

Ta với S = v.t. Mà quãng đàng Dung lên đường vội vàng gấp đôi quãng đàng Mai lên đường, véc tơ vận tốc tức thời của 2 chúng ta như nhau nên thời hạn Dung lên đường đàng tiếp tục vội vàng gấp đôi thời hạn Mai lên đường đàng thì mới có thể bắt gặp nhau bên trên điểm I.

Dung bắt gặp Mai khi 7h30p nên thời hạn Mai lên đường bên trên quãng đàng XiaoMI là: 7h30 - 7h = 30p

Khi ê thời hạn Dung lên đường là 1h => Thời gian giảo Dung bắt đầu từ nhà: 7h30 - 1h = 6h30p.

Vậy dung bắt đầu từ khi 6h30p nhằm bắt gặp Mai khi 7h30p bên trên điểm I.

3.2 Bài tập dượt đặc điểm đàng phân giác của tam giác toán 8 chân mây sáng sủa tạo

Bài 1 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tao với AD là đàng phân giác góc A nên tao có

$\large \frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{2,4}=\frac{5}{3}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.2,4}{3}=4$

b) Trong $\large \Delta$ EFG, tao với EH là đàng phân giác góc E nên tao có

$\large \frac{HG}{HF}=\frac{EG}{EF}\Leftrightarrow \frac{x}{20-x}=\frac{18}{12}$

$\large \Rightarrow 12x=18(20-x)\Rightarrow x=\frac{18.20}{30}=12$

c) Trong t $\large \Delta$ PQR, tao với RS là đàng phân giác góc R nên tao có

$\large \frac{SP}{SQ}=\frac{PR}{QR}\Leftrightarrow \frac{5}{6}=\frac{10}{x}$

$\large \Rightarrow x=\frac{6.10}{5}=12$

Bài 2 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC với AD là đàng phân giác

$\large \Rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Áp dụng đặc điểm sản phẩm tỉ số cân nhau, tao có:

$\large \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{8}=\frac{DC}{6}=\frac{10}{8+6}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{40}{7}cm;BC=\frac{30}{7}cm$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H

$\large \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.DB}{\frac{1}{2}AH.DC}= \frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

Bài 3 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tao có: AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Lại có AB = 15 cm; AC = trăng tròn centimet.

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{35}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}cm$

$\large \Rightarrow DC=BC-DB=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}cm$

Xét $\large \Delta$ ABC với DE // AB, theo dõi hệ trái khoáy quyết định lí Thalès, tao có:

$\large \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow \frac{DE}{15}=\frac{\frac{100}{7}}{25}$

$\large \Rightarrow DE=\frac{60}{7}$

b) Xét $\large \Delta$ ABC tao có: AB = 15 centimet, AC = trăng tròn centimet, BC = 25 centimet.

Nên BC² = AB² + AC² => $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A.

Khi ê, tao có:

$\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}.20.15=150cm^{2}$

Vậy diện tích $\large \Delta$ ABC là 150 cm².

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

$\large \frac{A_{ADB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

$\large \Rightarrow S_{ADB}=\frac{3}{7}.S_{ABC}=\frac{3}{7}.150=\frac{450}{7}cm$

$\large \frac{A_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC.AB}=\left ( \frac{DE}{AB} \right )^{2}=\left ( \frac{\frac{60}{7}}{25} \right )^{2}=\frac{144}{1225}$

$\large \Rightarrow S_{DCE}=\frac{144}{1225}.S_{ABC}=\frac{144}{1225}.150=\frac{864}{49}cm^{2}$

$\large \Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}$

$\large =150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Vậy $\large S_{ADB}=\frac{450}{7}cm^{2};S_{DCE}=\frac{864}{49}cm^{2};S_{ADE}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Xem thêm: Hình Nền OPPO ❤️ Tuyển Tập Ảnh Nền Điện Thoại OPPO - Gấu Đây - Takimart

Bài 4 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A, vận dụng quyết định lí Pythagore, tao có:

BC² = AC² + AB² => BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

$\large \Rightarrow 4DB=15-3DB\Rightarrow DB=\frac{15}{7}cm$

Do đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}cm$

Vậy BC = 5cm ; DB = 15/7 cm; DC = 20/7 centimet.

b. Ta có: $\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

$\large \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}cm$

Tam giác ABH vuông bên trên H nên:

$\large HB=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{9}{5}cm$

Ta có: HD = DB - HB = 15/7 - 9/5 = 12/35 centimet.

$\large AD=\sqrt{HD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{12}{35} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Vậy AH = 12/5 cm; HD = 12/35 cm; $\large AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Bài 5 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

• Xét $\large \Delta$ ABM với MD là đàng phân giác $\large \widehat{AMB}$

$\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$

• Xét $\large \Delta$ ACM với ME là đàng phân giác $\large \widehat{AMC}$

$\large \Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC, tự đó: $\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ , theo dõi quyết định lí Thalès hòn đảo tao có: DE // BC.

3.3 Bài tập dượt đặc điểm đàng phân giác của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Áp dụng đặc điểm đàng phân giác cho tới $\large \Delta$ ABC, tao có:

AD là đàng phân giác của góc BAC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{BD}{5-BD}=\frac{4}{6}$

=> 6BD = 4(5 – BD)

<=> 6BD = trăng tròn – 4BD <=> 6BD + 4BD = 20

<=> 10BD = 20 <=> BD = 2.

BE là đàng phân giác của góc ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow \frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{BA}\Leftrightarrow \frac{CE}{6-CE}=\frac{5}{4}$

=> 4CE = 5(6 – CE)

<=> 4CE = 30 – 5CE <=> 4CE + 5CE = 30

<=> 9CE = 30 <=> CE = 30/9 = 10/3

CF là đàng phân giác của góc ACB

$\large \Rightarrow \frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\Rightarrow \frac{FA}{AB-FA}=\frac{CA}{CB}\Leftrightarrow \frac{AF}{4-AF}=\frac{6}{5}$

=> 5AF = 6(4 – AF) <=> 5AF = 24 – 6AF

<=> 5AF + 6AF = 24 <=> 11AF = 24

<=> AF=24/11

Vậy BD = 2; CE=10/3; AF = 24/11.

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc điểm đàng phân giác vô tam giác, tao có:

BE là đàng phân giác của góc ABC vô $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}$

BD là đàng phân giác của góc ABM vô $\large \Delta$ ABM

$\large \Rightarrow \frac{DM}{DA}=\frac{BM}{BA}$

Mà BC = 2BM (do AM là đàng trung tuyến của $\large \Delta$ ABC)

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}=2\frac{BM}{BA}=2\frac{DM}{DA}$

Vậy $\large \frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}$

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

AD là đàng phân giác của góc BAC vô $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

AE là đàng phân giác của góc BAG vô $\large \Delta$ ABG

$\large \Rightarrow \frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AG}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AC}:\frac{AB}{AG}=\frac{AB}{AC}.\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{AC}$

Vậy $\large \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}$

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là đàng phân giác của góc BAC.

Xét $\large \Delta$ AMD với AN là đàng phân giác góc MAD

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{AM}$

Hay $\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{\frac{1}{3}AB}$ (vì AB = 3AM)

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AB}{\frac{1}{3}AB}=3$

Vậy ND = 3MN.

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

a) Xét tam giác ABC vuông bên trên A, theo dõi quyết định lí Pythagore, tao có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = 5²

Suy đi ra BC = 5.

Do AD là đàng phân giác của $\large \widehat{BAC}$ , theo dõi đặc điểm đàng phân giác vô tam giác, tao có:

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

Do ê 4DB = 3(5 – DB) <=>4DB = 15 – 3DB

<=> 4DB + 3DB = 15 <=> 7DB = 15 <=> DB = 15/7

Khi đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy BC = 5; DB = 15/7 ; DC = 20/7.

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy đi ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ trái khoáy của quyết định lí Thalès vô tam giác ABC với DH // AB, tao có:

$\large \frac{DH}{BA}=\frac{CD}{CB} \Leftrightarrow \frac{DH}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

$\large \Rightarrow DH=\frac{3\frac{20}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách kể từ điểm D cho tới đường thẳng liền mạch AC là DH=12/7.

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, tao có:

$\large \frac{AH}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (hệ trái khoáy của quyết định lí Thalès)

$\large \Rightarrow \frac{AH}{4}=\frac{\frac{15}{7}}{5}\Rightarrow AH=\frac{4.\frac{15}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông bên trên H, tao có: AD² = AH² + DH² (định lí Pythagore)

$\large \Rightarrow AD^{2}=\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}=\frac{288}{49}$

$\large \Rightarrow AD=\sqrt{\frac{288}{49}}=\sqrt{\frac{144.2}{49}}=\sqrt{\left ( \frac{12\sqrt{2}}{7} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc điểm đàng phân giác vô nhị tam giác ACD và BCD, tao có:

AE là đàng phân giác của góc CAD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{AC}{AD}(1)$

BE là đàng phân giác của góc CBD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{BC}{BD}(2)$

Từ (1) và (2)

$\large \Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}$

Vậy AD.BC = AC.BD.

Trên đó là những kỹ năng và kiến thức về tính hóa học đàng phân giác của tam giác lớp 8 vô lịch trình toán 8 liên kết trí thức, chân mây phát minh và cánh diều. Trong khi VUIHOC chỉ dẫn những em cơ hội giải những bài bác tập dượt vô sách giáo khoa. Truy cập beyeu.edu.vn nhằm update tăng nhiều kỹ năng và kiến thức toán 8 hữu dụng nhé những em!

>> Mời chúng ta xem thêm thêm:

Xem thêm: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)={sin^2}x

Hình thoi và hình vuông

Định lí Thalès vô tam giác

Đường tầm của tam giác