50 bài toán về nguyên hàm của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) | Toán 12

Nguyên hàm của hàm con số giác và cơ hội giải - Toán lớp 12

Bạn đang xem: 50 bài toán về nguyên hàm của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) | Toán 12

A. LÝ THUYẾT.

1. Một số công thức lượng giác cần thiết nhớ

- Hệ thức lượng giác cơ bản:

$$\begin{gathered} {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1; \\ \frac{1}{{\sin }^{2}x}=1+{\cot }^{2}x; \\ \frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x \end{gathered}$$

2. Một số vẹn toàn nồng độ giác cơ bản

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng $\int {\sin }^{m}x.{\cos }^{n}xdx$ nhập cơ m, n là những số tự động nhiên.

Trường thích hợp 1: Trong nhì số m, n với tối thiểu một vài lẻ.

Trường thích hợp 2: Cả nhì số m, n đều là số chẵn: Ta dùng công thức hạ bậc nhằm hạn chế 1/2 số nón của , nhằm thực hiện câu hỏi trở thành giản dị rộng lớn.

2. Dạng $\int \sin ax.\cos bxdx$;

$\int \sin ax.\sin bxdx$; $\int \cos ax.\cos bxdx$;

$\int \cos ax.\sin bxdx$.

Ta dùng công thức chuyển đổi tích trở nên tổng nhập lượng giác.

3. Dạng $\int \frac{{\tan }^{m}x}{{\cos }^{n}x}dx$ nhập cơ m, n là những số nguyên.

4. Đổi biến chuyển số với nồng độ giác.

Khi vẹn toàn hàm, tích phân của những hàm số nhưng mà biểu thức của chính nó với chứa chấp những dạng $\sqrt{x^2+a^2},\sqrt{x^2-a^2},\sqrt{a^2-x^2}$, thì tao với cơ hội chuyển đổi lượng giác như sau:

VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1: Tìm $I=\int {\sin }^{5}x.{\cos }^{2}xdx$.

Lời giải

Vì lũy quá của $\sin x$ là số lẻ nên tao thay đổi biến

$u=\cos x\Rightarrow du=\left(\cos x\right)\text{'}dx$

Ví dụ 2: Tìm vẹn toàn hàm

a. $A=\int \frac{{\tan }^{6}x}{{\cos }^{4}x}dx$

b. $B=\int \frac{{\tan }^{5}x}{{\cos }^{7}x}dx$

Lời giải

a. Do lũy quá của cosx là số vẹn toàn dương chẵn nên được sắp xếp u = tanx. Từ công thức tổng quát tháo đang được minh chứng phía trên tao có:

b. Do lũy quá của là một vài lẻ nên tao bịa đặt $u=\frac{1}{\cos x}$, vậy nên, kể từ công thức tổng quát tháo minh chứng phía trên tao có

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) vừa lòng $f\text{'}\left(x\right)=x+\sin x\sin 2x.$ hiểu rằng f(0) = 2. Giá trị của $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ là:

A. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{4}+\frac{2}{3}$

B. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{4}+\frac{8}{3}$

C. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{2}+\frac{2}{3}$

D. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{2}+\frac{8}{3}$

Lời giải:

Chọn B

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Tìm công thức sai:

A. $\int e^{x}dx=e^x+C$

B. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right)$

C. $\int \cos xdx=\sin x+C$

D. $\int \sin xdx=\cos x+C$

Câu 2. Tìm vẹn toàn hàm của: $y=\sin x.\sin 7x$ với $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ là:

A. $\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 8x}{16}$

B. $-\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 8x}{16}$

C. $\frac{\sin 6x}{12}-\frac{\sin 8x}{16}$

D. $-\left[\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 8x}{16}\right]$

Câu 3. $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}dx$ bằng:

A. $2\tan 2x+C$

B. -4$\cot 2x+C$

C. 4$\cot 2x+C$

D. 2$\cot 2x+C$

Câu 4. $\int {\left(\sin 2x-c\text{os}2x\right)}^{2}dx$ bằng:

A. $\frac{{\left(\sin 2x-c\text{os}2x\right)}^3}{3}+C$

B. ${\left(-\frac{1}{2}c\text{os}2x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^2+C$

C. $x-\frac{1}{2}\sin 2x+C$

D. $x+\frac{1}{4}c\text{os}4x+C$

Câu 5. $\int c{\text{os}}^2\frac{2x}{3}dx$ bằng:

A. $\frac{3}{2}c{\text{os}}^4\frac{2x}{3}+C$

B. $\frac{1}{2}c{\text{os}}^4\frac{2x}{3}+C$

C. $\frac{x}{2}+\frac{3}{8}\text{sin}\frac{4x}{3}+C$

D. $\frac{x}{2}-\frac{4}{3}c\text{os}\frac{4x}{3}+C$

Câu 6. Hàm số $F\left(x\right)=\ln \left|\sin x-3\cos x\right|$ là 1 vẹn toàn hàm của hàm số nào là trong những hàm số sau đây:

A. $f\left(x\right)=\frac{\cos x+3\sin x}{\sin x-3\cos x}$

B. $f\left(x\right)=\cos x+3\sin x$

C. $f\left(x\right)=\frac{-\cos x-3\sin x}{\sin x-3\cos x}$

D. $f\left(x\right)=\frac{\sin x-3\cos x}{\cos x+3\sin x}$

Câu 7. Tìm vẹn toàn hàm: $\int {(1+\sin x)}^{2}dx$

A. $\frac{2}{3}x+2\cos x-\frac{1}{4}\sin 2x+C$

B. $\frac{3}{2}x-2\cos x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

C. $\frac{2}{3}x-2\cos 2x-\frac{1}{4}\sin 2x+C$

D. $\frac{3}{2}x-2\cos x-\frac{1}{4}\sin 2x+C$

Câu 8. Cho $f\left(x\right)=\frac{4m}{\pi }+{\sin }^{2}x$. Tìm m nhằm vẹn toàn hàm F(x) của f(x) vừa lòng F(0) = 1 và $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{8}$

A. $m=-\frac{4}{3}$

B. $m=-\frac{3}{4}$

C. $m=-\frac{3}{4}$

D. $m=\frac{3}{4}$

Câu 9. Một vẹn toàn hàm của hàm số $y=\sin 3x$

A. $-\frac{1}{3}c\text{os}3x$

B. $-3c\text{os}3x$

C. $3c\text{os}3x$

D. $\frac{1}{3}c\text{os}3x$

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=ta{n}^{3}x$ là:

A. Đáp án khác

B. ${\tan }^{2}x+1$

C. $\frac{{\tan }^{4}x}{4}+C$

D. $\frac{1}{2}{\tan }^{2}x+\ln \left|\cos x\right|+C$

Câu 11. Cặp hàm số nào là tại đây với tính chất: Có một hàm số là vẹn toàn hàm của hàm số còn lại?

Xem thêm: Cách tính nửa chu vi hình chữ nhật có ví dụ trực quan dễ hiểu - IMO2007

A. $\sin 2x$ và ${\cos }^{2}x$

B. $\tan x^2$ và $\frac{1}{{\cos }^2{x}^2}$

C. $e^x$ và $e^{-x}$

D. $\sin 2x$ và ${\sin }^{2}x$

Câu 12. Một vẹn toàn hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{4}{{\cos }^{2}x}$ là:

A. $\frac{4x}{{\sin }^{2}x}$

B. $4\tan x$

C. $4+\tan x$

D. $4x+\frac{4}{3}{\tan }^{3}x$

Câu 13. Họ vẹn toàn hàm của $f\left(x\right) = {\sin }^{3}x$

A. $\cos x-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$

B. $-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$

C. $-\cos x+\frac{1}{\cos x}+c$

D. $\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C$

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2\sin x+\cos x$ là:

A. $2\cos x-\mathrm{s}\text{inx}+C$

B. $2\cos x+\mathrm{s}\text{inx}+C$

C. $-2\cos x-\mathrm{s}\text{inx}+C$

D. $-2\cos x+\mathrm{s}\text{inx}+C$

Câu 15. Họ vẹn toàn hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin 2x$ là

A. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$

B. $F\left(x\right)=\cos 2x+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x+C$

D. $F\left(x\right)=-\cos 2x+C$

Câu 16. Tính $\int \cos 5x.\cos 3xdx$

A. $\frac{1}{8}\sin 8x+\frac{1}{2}\sin 2x+C$

B. $\frac{1}{2}\sin 8x+\frac{1}{2}\sin 2x$

C. $\frac{1}{16}\sin 8x+\frac{1}{4}\sin 2x$

D. $\frac{-1}{16}\sin 8x-\frac{1}{4}\sin 2x$

Câu 17. $\int c\text{os}8x.\sin xdx$ bằng:

A. $\frac{1}{8}\sin 8x.c\text{os}x+C$

B. $-\frac{1}{8}\sin 8x.c\text{os}x+C$

C. $\frac{1}{14}c\text{os7}x-\frac{1}{18}c\text{os}9x+C$

D. $\frac{1}{18}c\text{os9}x-\frac{1}{14}c\text{os7}x+C$

Câu 18. $\int {\sin }^{2}2xdx$ bằng:

A. $\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin 4x+C$

B. $\frac{1}{3}{\sin }^{3}2x+C$

C. $\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin 4x+C$

D. $\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 4x+C$

Câu 19. Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=x+\sin x$ vừa lòng $F\left(0\right)=19$ là:

A. $F\left(x\right)=-c\text{os}x+\frac{x^2}{2}$

B. $F\left(x\right)=-c\text{os}x+\frac{x^2}{2}+2$

C. $F\left(x\right)=c\text{os}x+\frac{x^2}{2}+20$

D. $F\left(x\right)=-c\text{os}x+\frac{x^2}{2}+20$

Câu đôi mươi. Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=2x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ vừa lòng $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=-1$ là:

A. $F\left(x\right)=-c\text{ot}x+x^2-\frac{{\pi }^2}{4}$

B. $F\left(x\right)=c\text{ot}x-x^2+\frac{{\pi }^2}{16}$

C. $F\left(x\right)=-c\text{ot}x+x^2$

D. $F\left(x\right)=-c\text{ot}x+x^2-\frac{{\pi }^2}{16}$

Câu 21. Cho hàm số $f\left(x\right)=\cos 3x.\cos x$. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ bởi vì 0 Lúc $x=0$ là hàm số nào là trong những hàm số sau ?

A. $3\sin 3x+\sin x$

B. $\frac{\sin 4x}{8}+\frac{\sin 2x}{4}$

C. $\frac{\sin 4x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$

D. $\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{4}$

Câu 22. $\int \frac{3\cos x}{2+\sin x}dx$ bằng:

A. $3\ln \left(2+\sin x\right)+C$

B. $-3\ln \left|2+\sin x\right|+C$

C. $\frac{3\sin x}{{\left(2+\sin x\right)}^2}+C$

D. $-\frac{3\sin x}{\ln \left(2+\sin x\right)}+C$

Câu 23. Nguyên hàm của $\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$ là:

A. $\ln \left|\sin x+\cos x\right|+C$

B. $\frac{1}{\ln \left|\sin x-\cos x\right|}+C$

C. $\ln \left|\sin x-\cos x\right|+C$

D. $\frac{1}{\sin x+\cos x}+C$

Câu 24. $\int \frac{\cot x}{{\sin }^{2}x}dx$ bằng:

A. $-\frac{{\cot }^{2}x}{2}+C$

B. $\frac{{\cot }^{2}x}{2}+C$

C. $-\frac{{\tan }^{2}x}{2}+C$

D. $\frac{{\tan }^{2}x}{2}+C$

Câu 25. $\int \frac{\sin x}{c{\text{os}}^{5}x}dx$ bằng:

A. $\frac{-1}{4c{\text{os}}^{4}x}+C$

B. $\frac{1}{4c{\text{os}}^{4}x}+C$

C. $\frac{1}{4{\text{sin}}^{4}x}+C$

D. $\frac{-1}{4{\text{sin}}^{4}x}+C$

Câu 26. $\int {\sin }^{5}x.c\text{os}xdx$ bằng:

A. $\frac{{\sin }^{6}x}{6}+C$

B.$-\frac{{\sin }^{6}x}{6}+C$

C. $-\frac{c{\text{os}}^{6}x}{6}+C$

D. $\frac{c{\text{os}}^{6}x}{6}+C$

Câu 27. Họ vẹn toàn hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{-x}\cos x$ là

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{-x}\left(\sin x-\cos x\right)+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{-x}\left(\sin x+\cos x\right)+C$

C. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{-x}\left(\sin x+\cos x\right)+C$

D. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{-x}\left(\sin x-\cos x\right)+C$

Câu 28. Nguyên hàm của hàm số: $I=\int \left(x-2\right)\sin 3xdx$ là:

A. F(x) = $-\frac{\left(x-2\right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

B. F(x) = $\frac{\left(x-2\right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

C. F(x) = $-\frac{\left(x+2\right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

D. F(x) = $-\frac{\left(x-2\right)\cos 3x}{3}+\frac{1}{3}\sin 3x+C$

Câu 29. Biểu thức nào là tại đây bởi vì với $\int x^2\sin xdx$?

A. $-2x\cos x-\int x^2\cos xdx$

B. $-x^2\cos x+\int 2x\cos xdx$

C. $-x^2\cos x-\int 2x\cos xdx$

D. $-2x\cos x+\int x^2\cos xdx$

Câu 30. Đổi biến chuyển x = 2sint tích phân $I=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$ trở thành

A. $\underset{}{\overset{}{\int }}dt$

B. $\underset{}{\overset{}{\int t}}dt$

C. $\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{1}{t}dt$

D. $\underset{}{\overset{}{\int }}dt$

Xem thêm: Chu vi hình chữ nhật lớp 4: Tổng hợp kiến thức và bài tập tính chu vi hay nhất

Đáp án