0.
Để tính số lượng giới hạn của hàm số \\(\\frac{{\\sin x}}{x}\\) Khi \\(x\\) dần dần tiến bộ cho tới 0, tao hoàn toàn có thể dùng công thức số lượng giới hạn căn bạn dạng sau:
\\[\\lim_{x \\to a} \\frac{{\\sin x}}{x} = 1\\]
Tuy nhiên, công thức này chỉ vận dụng Khi \\(a\\) là một trong những thực và \\(\\sin a\\) không giống 0. Trong tình huống này, Khi \\(x \\to 0\\), tao thấy \\(\\sin x\\) cũng tiếp tục tiến bộ dần dần cho tới 0. Tuy nhiên, tao ko thể vận dụng thẳng công thức số lượng giới hạn căn bạn dạng vì như thế kiểu mẫu số của tất cả chúng ta là \\(x\\) và \\(x\\) tiến bộ dần dần cho tới 0.
Để giải quyết và xử lý yếu tố này, tao hoàn toàn có thể dùng một trong những quy tắc thay đổi nhằm quy đổi vấn đề về một dạng hoàn toàn có thể tính được. Ta tiếp tục xét hàm số \\(f(x) = \\frac{{\\sin x}}{x}\\).
Đầu tiên, tao hoàn toàn có thể dùng công thức goniômetri \\(\\sin x = x - \\frac{{x^3}}{3!} + \\frac{{x^5}}{5!} - \\frac{{x^7}}{7!} + \\ldots\\), được gọi là chuỗi Maclaurin của \\(\\sin x\\), nhằm không ngừng mở rộng \\(\\sin x\\) trở nên một chuỗi của \\(x\\) Khi \\(x\\) tiến bộ dần dần cho tới 0.
\\[f(x) = \\frac{{\\sin x}}{x} = \\frac{{x - \\frac{{x^3}}{3!} + \\frac{{x^5}}{5!} - \\frac{{x^7}}{7!} + \\ldots}}{x} = 1 - \\frac{{x^2}}{3!} + \\frac{{x^4}}{5!} - \\frac{{x^6}}{7!} + \\ldots\\]
Tiếp theo đuổi, tao tiếp tục vô hiệu hóa một trong những bộ phận ko tác động cho tới số lượng giới hạn Khi \\(x\\) tiến bộ dần dần cho tới 0. Theo công thức bên trên, những bộ phận chứa chấp \\(x\\) nón lẻ Khi \\(x\\) tiến bộ dần dần cho tới 0 đều vị 0. Vì vậy, tao chỉ quan hoài cho tới những bộ phận chứa chấp \\(x\\) nón chẵn.
\\[f(x) = 1 - \\frac{{x^2}}{3!} + \\frac{{x^4}}{5!} - \\frac{{x^6}}{7!} + \\ldots\\]
Tiếp theo đuổi, tao để ý thấy rằng nhập chuỗi bên trên, từng bộ phận tiếp sau với index của \\(x\\) nón to hơn cút 2 và vị \\((-1)^{n+1} \\cdot \\frac{{x^{2n}}}{(2n + 1)!}\\), với \\(n\\) là số đương nhiên.
Dựa bên trên để ý này, tao hoàn toàn có thể màn trình diễn \\(f(x)\\) bên dưới dạng một chuỗi vô hạn như sau:
\\[f(x) = 1 - \\frac{{x^2}}{3!} + \\frac{{x^4}}{5!} - \\frac{{x^6}}{7!} + \\ldots = \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{n} \\cdot \\frac{{x^{2n}}}{(2n + 1)!}\\]
Cuối nằm trong, tao dùng định nghĩa về số lượng giới hạn của chuỗi vô hạn nhằm tính số lượng giới hạn của \\(f(x)\\) Khi \\(x\\) tiến bộ dần dần cho tới 0:
\\[\\lim_{x \\to 0} f(x) = \\lim_{x \\to 0} \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{n} \\cdot \\frac{{x^{2n}}}{(2n + 1)!} = 1\\]
Vậy, số lượng giới hạn của \\(\\frac{{\\sin x}}{x}\\) Khi \\(x\\) dần dần tiến bộ cho tới 0 là một trong những.
![Tính số lượng giới hạn của sinx/x Khi x dần dần tiến bộ cho tới](https://bitex.com.vn/assets/images/logo-bitex.png)